ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 311 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (-2; 8), В (3; -3), С (6; 2) и D (1; 13) является параллелограммом.
1. Для стороны AB:
Изменение по x: \(x_B — x_A = 3 — (-2) = 3 + 2 = 5\)
Изменение по y: \(y_B — y_A = -3 — 8 = -11\)
2. Для стороны DC:
Изменение по x: \(x_C — x_D = 6 — 1 = 5\)
Изменение по y: \(y_C — y_D = 2 — 13 = -11\)
Так как изменения по осям x и y для сторон AB и DC одинаковы (\(\Delta x = 5\) и \(\Delta y = -11\)), то стороны AB и DC параллельны и равны по длине. Следовательно, четырехугольник ABCD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD с заданными вершинами А (-2; 8), В (3; -3), С (6; 2) и D (1; 13) является параллелограммом, мы можем использовать свойство, согласно которому четырёхугольник является параллелограммом, если одна пара его противоположных сторон одновременно параллельна и равна по длине. Это условие выполняется, если векторы, соответствующие этим сторонам, равны. Мы рассмотрим векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\).
Первым шагом мы найдём компоненты вектора \(\vec{AB}\). Вектор \(\vec{AB}\) направлен от точки A к точке B. Его горизонтальная компонента (\(\Delta x\)) находится как разность x-координат конечной и начальной точек, а вертикальная компонента (\(\Delta y\)) — как разность y-координат.
Для горизонтальной компоненты вектора \(\vec{AB}\) мы вычисляем: \(x_B — x_A = 3 — (-2) = 3 + 2 = 5\).
Для вертикальной компоненты вектора \(\vec{AB}\) мы вычисляем: \(y_B — y_A = -3 — 8 = -11\).
Таким образом, вектор \(\vec{AB}\) имеет компоненты \((5; -11)\).
Далее мы найдём компоненты вектора \(\vec{DC}\). Вектор \(\vec{DC}\) направлен от точки D к точке C. Аналогично, его горизонтальная компонента (\(\Delta x\)) находится как разность x-координат конечной и начальной точек, а вертикальная компонента (\(\Delta y\)) — как разность y-координат.
Для горизонтальной компоненты вектора \(\vec{DC}\) мы вычисляем: \(x_C — x_D = 6 — 1 = 5\).
Для вертикальной компоненты вектора \(\vec{DC}\) мы вычисляем: \(y_C — y_D = 2 — 13 = -11\).
Таким образом, вектор \(\vec{DC}\) имеет компоненты \((5; -11)\).
Теперь мы сравниваем компоненты найденных векторов. Мы видим, что горизонтальная компонента вектора \(\vec{AB}\) равна 5, и горизонтальная компонента вектора \(\vec{DC}\) также равна 5. Аналогично, вертикальная компонента вектора \(\vec{AB}\) равна -11, и вертикальная компонента вектора \(\vec{DC}\) также равна -11. Поскольку соответствующие компоненты векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\) равны, это означает, что \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
Равенство векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\) подразумевает два важных геометрических факта: во-первых, что отрезки AB и DC имеют одинаковую длину, и во-вторых, что отрезки AB и DC параллельны друг другу. По определению, четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна и равна по длине, является параллелограммом. Следовательно, четырёхугольник ABCD является параллелограммом. Что и требовалось доказать.
