ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 312 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (-3; -2), В (-1; 2), С (1; -2) и D (-1; -6) является ромбом.

Краткий ответ:

Решение:
1. Найдём квадрат длины стороны AB:
\(AB^2 = (-1 — (-3))^2 + (2 — (-2))^2 = (-1 + 3)^2 + (2 + 2)^2 =\)
\(= 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20\).
2. Найдём квадрат длины стороны BC:
\(BC^2 = (1 — (-1))^2 + (-2 — 2)^2 = (1 + 1)^2 + (-4)^2 = 2^2 + 16=\)
\( = 4 + 16 = 20\).
3. Найдём квадрат длины стороны CD:
\(CD^2 = (-1 — 1)^2 + (-6 — (-2))^2 = (-2)^2 + (-6 + 2)^2 =\)
\(= (-2)^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20\).
4. Найдём квадрат длины стороны DA:
\(DA^2 = (-3 — (-1))^2 + (-2 — (-6))^2 = (-3 + 1)^2 + (-2 + 6)^2 =\)
\(= (-2)^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20\).
Так как \(AB^2 = BC^2 = CD^2 = DA^2 = 20\), то \(AB = BC = CD = DA = \sqrt{20}\).
Все стороны четырёхугольника ABCD равны, следовательно, ABCD является ромбом.

Подробный ответ:

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является ромбом, необходимо показать, что все его четыре стороны имеют одинаковую длину. Для этого мы будем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости.

Даны координаты вершин четырёхугольника: A\((-3; -2)\), B\((-1; 2)\), C\((1; -2)\) и D\((-1; -6)\).

Формула для нахождения расстояния \(d\) между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) выглядит следующим образом: \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\). Для удобства вычислений мы будем находить квадрат расстояния между точками, то есть \(d^2 = (x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2\).

Вычислим квадрат длины стороны AB, используя координаты точек A\((-3; -2)\) и B\((-1; 2)\). Подставляя значения в формулу, получаем: \(AB^2 = (-1 — (-3))^2 + (2 — (-2))^2\). Упрощая выражение, имеем \(AB^2 = (-1 + 3)^2 + (2 + 2)^2\), что равно \(AB^2 = (2)^2 + (4)^2\). Таким образом, \(AB^2 = 4 + 16\), и окончательно \(AB^2 = 20\).

Далее вычислим квадрат длины стороны BC, используя координаты точек B\((-1; 2)\) и C\((1; -2)\). Применяя формулу, получаем: \(BC^2 = (1 — (-1))^2 + (-2 — 2)^2\). Упрощаем: \(BC^2 = (1 + 1)^2 + (-4)^2\). Это даёт \(BC^2 = (2)^2 + 16\), что равно \(BC^2 = 4 + 16\). Следовательно, \(BC^2 = 20\).

Затем найдём квадрат длины стороны CD, используя координаты точек C\((1; -2)\) и D\((-1; -6)\). Подставляем в формулу: \(CD^2 = (-1 — 1)^2 + (-6 — (-2))^2\). Упрощаем выражение: \(CD^2 = (-2)^2 + (-6 + 2)^2\), что равно \(CD^2 = 4 + (-4)^2\). Таким образом, \(CD^2 = 4 + 16\), и окончательно \(CD^2 = 20\).

Наконец, вычислим квадрат длины стороны DA, используя координаты точек D\((-1; -6)\) и A\((-3; -2)\). Применяя формулу, получаем: \(DA^2 = (-3 — (-1))^2 + (-2 — (-6))^2\). Упрощаем: \(DA^2 = (-3 + 1)^2 + (-2 + 6)^2\). Это даёт \(DA^2 = (-2)^2 + (4)^2\), что равно \(DA^2 = 4 + 16\). Следовательно, \(DA^2 = 20\).

По результатам вычислений мы видим, что квадраты длин всех сторон равны: \(AB^2 = 20\), \(BC^2 = 20\), \(CD^2 = 20\), \(DA^2 = 20\). Отсюда следует, что длины всех сторон также равны: \(AB = BC = CD = DA = \sqrt{20}\). Поскольку все четыре стороны четырёхугольника ABCD имеют одинаковую длину, по определению, этот четырёхугольник является ромбом.

Оцени решение