ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 313 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (-3; -2), В (-1; 2), С (1; -2) и D (-1; -6) является ромбом.

Краткий ответ:

1) Точка В удалена от точки А:
`\(\Delta x = -8 + 2 = -6\)`
`\(\Delta y = -2 — 6 = -8\)`

2) Точка С удалена от точки D:
`\(\Delta x = 0 — 6 = -6\)`
`\(\Delta y = -8 — 0 = -8\)`

3) Длины двух соседних сторон ABCD:
`\(AB^2 = \sqrt{(-8+2)^2 + (-2-6)^2} = \sqrt{36+64} = 10\)`
`\(BC^2 = \sqrt{(0-6)^2 + (-8-0)^2} = \sqrt{36+64} = 10\)`

4) Длины диагоналей ABCD:
`\(AC^2 = \sqrt{(0+2)^2 + (-8-6)^2} = \sqrt{4+196} = \sqrt{200}\)`
`\(BD^2 = \sqrt{(6+8)^2 + (0+2)^2} = \sqrt{196+4} = \sqrt{200}\)`

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, необходимо показать, что все его стороны равны и его диагонали также равны.

Даны координаты вершин четырёхугольника: `\(A(-2; 6)\)`, `\(B(-8; -2)\)`, `\(C(0; -8)\)`, `\(D(6; 0)\)`.

Сначала вычислим длины всех сторон четырёхугольника, используя формулу расстояния между двумя точками `\((x_1, y_1)\)` и `\((x_2, y_2)\)`, которая выглядит как `\(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\)`.

Длина стороны AB:
`\(AB = \sqrt{(-8 — (-2))^2 + (-2 — 6)^2} = \sqrt{(-8 + 2)^2 + (-8)^2}=\)
\( = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)`

Длина стороны BC:
`\(BC = \sqrt{(0 — (-8))^2 + (-8 — (-2))^2} = \sqrt{(0 + 8)^2 + (-8 + 2)^2} =\)
\(= \sqrt{(8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\)`

Длина стороны CD:
`\(CD = \sqrt{(6 — 0)^2 + (0 — (-8))^2} = \sqrt{(6)^2 + (0 + 8)^2} = \sqrt{36 + (8)^2} =\)
\(= \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)`

Длина стороны DA:
`\(DA = \sqrt{(-2 — 6)^2 + (6 — 0)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (6)^2} = \sqrt{64 + 36} =\)
\(= \sqrt{100} = 10\)`

Так как `\(AB = BC = CD = DA = 10\)`, это означает, что все стороны четырёхугольника равны. Следовательно, четырёхугольник ABCD является ромбом.

Далее вычислим длины диагоналей четырёхугольника, используя ту же формулу расстояния.

Длина диагонали AC:
`\(AC = \sqrt{(0 — (-2))^2 + (-8 — 6)^2} = \sqrt{(0 + 2)^2 + (-14)^2} =\)
\(= \sqrt{(2)^2 + (-14)^2} = \sqrt{4 + 196} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\)`

Длина диагонали BD:
`\(BD = \sqrt{(6 — (-8))^2 + (0 — (-2))^2} = \sqrt{(6 + 8)^2 + (0 + 2)^2}=\)
\( = \sqrt{(14)^2 + (2)^2} = \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\)`

Так как `\(AC = BD = 10\sqrt{2}\)`, это означает, что диагонали четырёхугольника равны.

Поскольку четырёхугольник ABCD является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны, то четырёхугольник ABCD является квадратом. Что и требовалось доказать.

Оцени решение