ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 314 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Точки D (1; 4) и Е (2; 2) – середины сторон АС и ВС треугольника АВС соответственно. Найдите координаты вершин А и С, если B (-3; -1).

Краткий ответ:

1) Координаты точки С:
\(\frac{-3+x}{2} = 2\), \(-3+x = 4\), \(x = 7\);
\(\frac{-1+y}{2} = 2\), \(-1+y = 4\), \(y = 5\);
2) Координаты точки А:
\(\frac{7+x}{2} = 1\), \(7+x = 2\), \(x = -5\);
\(\frac{5+y}{2} = 4\), \(5+y = 8\), \(y = 3\);
Ответ: А(-5; 3); C(7; 5).

Подробный ответ:

Для нахождения координат вершин А и С будем использовать формулу координат середины отрезка. Если точка \(M(x_M, y_M)\) является серединой отрезка, соединяющего точки \(P(x_P, y_P)\) и \(Q(x_Q, y_Q)\), то ее координаты определяются как:
\(x_M = \frac{x_P + x_Q}{2}\)
\(y_M = \frac{y_P + y_Q}{2}\)

Сначала найдем координаты точки С. Известно, что точка \(E(2, 2)\) является серединой стороны ВС, а координаты точки В известны как \((-3, -1)\). Пусть координаты точки С будут \((x_C, y_C)\).

Для определения \(x_C\), используем формулу для x-координаты середины отрезка:
\(2 = \frac{-3 + x_C}{2}\)
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 2:
\(2 \times 2 = -3 + x_C\)
Это упрощается до:
\(4 = -3 + x_C\)
Теперь, чтобы найти \(x_C\), прибавим 3 к обеим частям уравнения:
\(4 + 3 = x_C\)
Таким образом, \(x_C = 7\).

Аналогично, для определения \(y_C\), используем формулу для y-координаты середины отрезка:
\(2 = \frac{-1 + y_C}{2}\)
Умножим обе части уравнения на 2:
\(2 \times 2 = -1 + y_C\)
Это упрощается до:
\(4 = -1 + y_C\)
Теперь, чтобы найти \(y_C\), прибавим 1 к обеим частям уравнения:
\(4 + 1 = y_C\)
Таким образом, \(y_C = 5\).
Следовательно, координаты точки С: \((7, 5)\).

Теперь найдем координаты точки А. Известно, что точка \(D(1, 4)\) является серединой стороны АС, а координаты точки С мы только что нашли как \((7, 5)\). Пусть координаты точки А будут \((x_A, y_A)\).

Для определения \(x_A\), используем формулу для x-координаты середины отрезка:
\(1 = \frac{x_A + 7}{2}\)
Умножим обе части уравнения на 2:
\(1 \times 2 = x_A + 7\)
Это упрощается до:
\(2 = x_A + 7\)
Теперь, чтобы найти \(x_A\), вычтем 7 из обеих частей уравнения:
\(2 — 7 = x_A\)
Таким образом, \(x_A = -5\).

Аналогично, для определения \(y_A\), используем формулу для y-координаты середины отрезка:
\(4 = \frac{y_A + 5}{2}\)
Умножим обе части уравнения на 2:
\(4 \times 2 = y_A + 5\)
Это упрощается до:
\(8 = y_A + 5\)
Теперь, чтобы найти \(y_A\), вычтем 5 из обеих частей уравнения:
\(8 — 5 = y_A\)
Таким образом, \(y_A = 3\).
Следовательно, координаты точки А: \((-5, 3)\).

Ответ: А(-5; 3); C(7; 5).

Оцени решение