ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 315 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите длину отрезка, концы которого принадлежат осям координат, а серединой является точка М (-3; 8).

Краткий ответ:

Пусть точки отрезка AB имеют координаты \(A(0, y)\) и \(B(x, 0)\). Середина отрезка AB — точка \(M(-3, 8)\).
Используя формулу для координат середины отрезка, получаем:
Для x-координаты: \(-3 = \frac{0 + x}{2}\), откуда \(x = -3 \cdot 2 = -6\).
Для y-координаты: \(8 = \frac{y + 0}{2}\), откуда \(y = 8 \cdot 2 = 16\).
Таким образом, координаты точек: \(A(0, 16)\) и \(B(-6, 0)\).

Длину отрезка AB найдем по формуле расстояния между двумя точками:
\(AB = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2}\)
\(AB = \sqrt{(-6 — 0)^2 + (0 — 16)^2}\)
\(AB = \sqrt{(-6)^2 + (-16)^2}\)
\(AB = \sqrt{36 + 256}\)
\(AB = \sqrt{292}\)
Упростим выражение: \(292 = 4 \cdot 73\), поэтому \(\sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{73} = 2\sqrt{73}\).
Длина отрезка AB равна \(2\sqrt{73}\).

Подробный ответ:

Пусть даны координаты точек отрезка AB: точка A имеет координаты \((0, y)\), что означает, что она лежит на оси ординат, и точка B имеет координаты \((x, 0)\), что означает, что она лежит на оси абсцисс. Известно, что середина этого отрезка AB — это точка M с координатами \((-3, 8)\).

Для того чтобы найти неизвестные координаты \(x\) и \(y\), мы можем использовать формулу для нахождения координат середины отрезка. Если отрезок соединяет точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), то координаты его середины \((M_x, M_y)\) вычисляются по формулам:
\(M_x = \frac{x_1 + x_2}{2}\)
\(M_y = \frac{y_1 + y_2}{2}\)

В нашем случае, для точки A \((x_1, y_1) = (0, y)\) и для точки B \((x_2, y_2) = (x, 0)\). Координаты середины M даны как \((-3, 8)\).

Подставим известные значения в формулы для x-координаты:
\(-3 = \frac{0 + x}{2}\)
Чтобы найти \(x\), умножим обе части уравнения на 2:
\(-3 \cdot 2 = 0 + x\)
\(-6 = x\)
Таким образом, x-координата точки B равна \(-6\).

Теперь подставим известные значения в формулы для y-координаты:
\(8 = \frac{y + 0}{2}\)
Чтобы найти \(y\), умножим обе части уравнения на 2:
\(8 \cdot 2 = y + 0\)
\(16 = y\)
Таким образом, y-координата точки A равна \(16\).

Итак, мы определили полные координаты точек: точка A имеет координаты \((0, 16)\), а точка B имеет координаты \((-6, 0)\).

Следующим шагом необходимо найти длину отрезка AB. Для этого используется формула расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Если у нас есть две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), расстояние \(D\) между ними вычисляется по формуле:
\(D = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\)

Подставим координаты точек A \((0, 16)\) и B \((-6, 0)\) в эту формулу:
\(AB = \sqrt{(-6 — 0)^2 + (0 — 16)^2}\)
Сначала вычислим разности координат:
\((-6 — 0) = -6\)
\((0 — 16) = -16\)

Теперь возведем эти разности в квадрат:
\((-6)^2 = 36\)
\((-16)^2 = 256\)

Сложим полученные квадраты:
\(36 + 256 = 292\)

Таким образом, длина отрезка AB равна квадратному корню из 292:
\(AB = \sqrt{292}\)

Для упрощения этого выражения, попробуем разложить число 292 на множители, чтобы найти полные квадраты. Разделим 292 на наименьшие простые числа:
\(292 \div 2 = 146\)
\(146 \div 2 = 73\)
Число 73 является простым числом.
Следовательно, \(292 = 2 \cdot 2 \cdot 73 = 4 \cdot 73\).

Теперь подставим это разложение обратно в выражение для длины:
\(AB = \sqrt{4 \cdot 73}\)
Используя свойство квадратного корня \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\):
\(AB = \sqrt{4} \cdot \sqrt{73}\)
Извлечем квадратный корень из 4:
\(\sqrt{4} = 2\)

Таким образом, окончательное упрощенное значение длины отрезка AB составляет:
\(AB = 2\sqrt{73}\)

Оцени решение