ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 316 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты вершины С равностороннего треугольника АВС, если А (2; -3) и В (-2; 3).

Длина стороны AB: \(AB^2 = (-2 — 2)^2 + (3 — (-3))^2 = (-4)^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52\).
Пусть координаты вершины C будут \( (x; y) \). Так как треугольник равносторонний, \(AC^2 = BC^2 = AB^2 = 52\).
Для стороны AC: \(AC^2 = (x — 2)^2 + (y + 3)^2 = 52\), что раскрывается как \(x^2 — 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 52\), или \(x^2 — 4x + y^2 + 6y = 39\) (1).
Для стороны BC: \(BC^2 = (x + 2)^2 + (y — 3)^2 = 52\), что раскрывается как \(x^2 + 4x + 4 + y^2 — 6y + 9 = 52\), или \(x^2 + 4x + y^2 — 6y = 39\) (2).
Вычтем уравнение (2) из уравнения (1): \((x^2 — 4x + y^2 + 6y) — (x^2 + 4x + y^2 — 6y) = 39 — 39\). Это дает \(-8x + 12y = 0\), откуда \(12y = 8x\), и \(y = \frac{8}{12}x = \frac{2}{3}x\).
Подставим \(y = \frac{2}{3}x\) в уравнение (1): \(x^2 — 4x + (\frac{2}{3}x)^2 + 6(\frac{2}{3}x) = 39\).
Это упрощается до \(x^2 — 4x + \frac{4}{9}x^2 + 4x = 39\).
Далее: \(x^2 + \frac{4}{9}x^2 = 39\), что приводит к \(\frac{13}{9}x^2 = 39\).
Отсюда \(x^2 = 39 \cdot \frac{9}{13} = 3 \cdot 9 = 27\).
Значит, \(x = \pm\sqrt{27} = \pm3\sqrt{3}\).
Если \(x = 3\sqrt{3}\), то \(y = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}\).
Если \(x = -3\sqrt{3}\), то \(y = \frac{2}{3}(-3\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}\).
Координаты вершины C: \((-3\sqrt{3}; -2\sqrt{3})\) и \((3\sqrt{3}; 2\sqrt{3})\).

Для начала определим квадрат длины стороны AB, используя формулу расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \), которая выглядит как \( d^2 = (x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 \). Координаты вершины A даны как \( (2; -3) \), а координаты вершины B как \( (-2; 3) \). Подставляя эти значения в формулу, получаем: \( AB^2 = (-2 — 2)^2 + (3 — (-3))^2 \). Вычисляем разности: \( (-2 — 2) = -4 \) и \( (3 — (-3)) = (3 + 3) = 6 \). Теперь возводим эти значения в квадрат: \( (-4)^2 = 16 \) и \( 6^2 = 36 \). Суммируем полученные квадраты: \( AB^2 = 16 + 36 = 52 \). Таким образом, квадрат длины стороны AB равен \( 52 \).

Поскольку треугольник ABC является равносторонним, длины всех его сторон равны. Это означает, что \( AC^2 = BC^2 = AB^2 = 52 \). Пусть координаты искомой вершины C будут \( (x; y) \). Теперь мы можем составить два уравнения, используя формулу расстояния для сторон AC и BC. Для стороны AC, используя точки \( A(2; -3) \) и \( C(x; y) \), получаем: \( AC^2 = (x — 2)^2 + (y — (-3))^2 = (x — 2)^2 + (y + 3)^2 \). Приравниваем это значение к \( 52 \): \( (x — 2)^2 + (y + 3)^2 = 52 \). Раскрываем скобки: \( (x^2 — 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 52 \). Объединяем константы: \( x^2 — 4x + y^2 + 6y + 13 = 52 \). Переносим константу в правую часть: \( x^2 — 4x + y^2 + 6y = 52 — 13 \), что дает \( x^2 — 4x + y^2 + 6y = 39 \) (это наше первое уравнение).

Аналогично, для стороны BC, используя точки \( B(-2; 3) \) и \( C(x; y) \), получаем: \( BC^2 = (x — (-2))^2 + (y — 3)^2 = (x + 2)^2 + (y — 3)^2 \). Приравниваем это значение к \( 52 \): \( (x + 2)^2 + (y — 3)^2 = 52 \). Раскрываем скобки: \( (x^2 + 4x + 4) + (y^2 — 6y + 9) = 52 \). Объединяем константы: \( x^2 + 4x + y^2 — 6y + 13 = 52 \). Переносим константу в правую часть: \( x^2 + 4x + y^2 — 6y = 52 — 13 \), что дает \( x^2 + 4x + y^2 — 6y = 39 \) (это наше второе уравнение).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) \( x^2 — 4x + y^2 + 6y = 39 \)
2) \( x^2 + 4x + y^2 — 6y = 39 \)
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить члены \( x^2 \) и \( y^2 \), а также константу \( 39 \):
\( (x^2 — 4x + y^2 + 6y) — (x^2 + 4x + y^2 — 6y) = 39 — 39 \)
Раскрываем скобки и меняем знаки для вычитаемых членов:
\( x^2 — 4x + y^2 + 6y — x^2 — 4x — y^2 + 6y = 0 \)
Сокращаем члены \( x^2 \) и \( y^2 \):
\( -4x — 4x + 6y + 6y = 0 \)
Объединяем подобные члены:
\( -8x + 12y = 0 \)
Переносим \( -8x \) в правую часть: \( 12y = 8x \).
Разделим обе части уравнения на \( 12 \) для выражения \( y \) через \( x \): \( y = \frac{8}{12}x \). Упрощаем дробь: \( y = \frac{2}{3}x \).

Теперь подставим это выражение для \( y \) в одно из наших исходных уравнений, например, в первое: \( x^2 — 4x + y^2 + 6y = 39 \).
Заменяем \( y \) на \( \frac{2}{3}x \):
\( x^2 — 4x + \left(\frac{2}{3}x\right)^2 + 6\left(\frac{2}{3}x\right) = 39 \)
Возводим в квадрат \( \left(\frac{2}{3}x\right)^2 \): \( \frac{4}{9}x^2 \).
Умножаем \( 6 \) на \( \frac{2}{3}x \): \( 6 \cdot \frac{2}{3}x = \frac{12}{3}x = 4x \).
Подставляем эти значения обратно в уравнение:
\( x^2 — 4x + \frac{4}{9}x^2 + 4x = 39 \)
Члены \( -4x \) и \( +4x \) сокращаются:
\( x^2 + \frac{4}{9}x^2 = 39 \)
Приводим \( x^2 \) к общему знаменателю \( 9 \): \( \frac{9}{9}x^2 + \frac{4}{9}x^2 = 39 \).
Суммируем дроби: \( \frac{13}{9}x^2 = 39 \).
Чтобы найти \( x^2 \), умножим обе части на \( \frac{9}{13} \):
\( x^2 = 39 \cdot \frac{9}{13} \).
Сокращаем \( 39 \) и \( 13 \): \( 39 \div 13 = 3 \).
Таким образом, \( x^2 = 3 \cdot 9 = 27 \).
Для нахождения \( x \) извлекаем квадратный корень из \( 27 \): \( x = \pm\sqrt{27} \).
Разложим \( 27 \) на множители: \( 27 = 9 \cdot 3 \).
Значит, \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \).
Таким образом, у нас есть два возможных значения для \( x \): \( x_1 = 3\sqrt{3} \) и \( x_2 = -3\sqrt{3} \).

Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для каждого значения \( x \), используя соотношение \( y = \frac{2}{3}x \).
Для \( x_1 = 3\sqrt{3} \):
\( y_1 = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} \).
Первая возможная координата вершины C: \( (3\sqrt{3}; 2\sqrt{3}) \).
Для \( x_2 = -3\sqrt{3} \):
\( y_2 = \frac{2}{3}(-3\sqrt{3}) = -2\sqrt{3} \).
Вторая возможная координата вершины C: \( (-3\sqrt{3}; -2\sqrt{3}) \).

Координаты вершины C: \( (-3\sqrt{3}; -2\sqrt{3}) \) и \( (3\sqrt{3}; 2\sqrt{3}) \).