ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 317 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите координаты вершины Е равностороннего треугольника DEF, если D (-6; 0) и F (2; 0).
Длина стороны \(DF\): \(DF^2 = (2 — (-6))^2 + (0 — 0)^2 = (2 + 6)^2 + 0^2 = 8^2 = 64\). Значит, длина стороны \(DF = \sqrt{64} = 8\). Так как треугольник равносторонний, все его стороны равны 8.
Пусть координаты вершины \(E\) будут \((x; y)\).
Длина стороны \(DE\): \(DE^2 = (x — (-6))^2 + (y — 0)^2 = (x + 6)^2 + y^2\).
Так как \(DE^2 = 64\), получаем \( (x + 6)^2 + y^2 = 64 \), что раскрывается как \( x^2 + 12x + 36 + y^2 = 64 \).
Длина стороны \(FE\): \(FE^2 = (x — 2)^2 + (y — 0)^2 = (x — 2)^2 + y^2\).
Так как \(FE^2 = 64\), получаем \( (x — 2)^2 + y^2 = 64 \), что раскрывается как \( x^2 — 4x + 4 + y^2 = 64 \).
Вычтем второе уравнение из первого:
\( (x^2 + 12x + 36 + y^2) — (x^2 — 4x + 4 + y^2) = 64 — 64 \)
\( 16x + 32 = 0 \)
\( 16x = -32 \)
\( x = \frac{-32}{16} = -2 \).
Подставим значение \(x = -2\) в уравнение \( (x + 6)^2 + y^2 = 64 \):
\( (-2 + 6)^2 + y^2 = 64 \)
\( 4^2 + y^2 = 64 \)
\( 16 + y^2 = 64 \)
\( y^2 = 64 — 16 \)
\( y^2 = 48 \)
\( y = \pm\sqrt{48} = \pm\sqrt{16 \cdot 3} = \pm 4\sqrt{3} \).
Координаты вершины \(E\): \( (-2; -4\sqrt{3}) \) и \( (-2; 4\sqrt{3}) \).
Длина стороны \(DF\). Координаты вершин \(D(-6; 0)\) и \(F(2; 0)\). Для нахождения длины стороны \(DF\) используем формулу расстояния между двумя точками \( \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \). Возведем обе части в квадрат, чтобы избежать корня на начальном этапе: \( DF^2 = (2 — (-6))^2 + (0 — 0)^2 \). Это упрощается до \( DF^2 = (2 + 6)^2 + 0^2 \), что дает \( DF^2 = 8^2 + 0 \). Следовательно, \( DF^2 = 64 \). Извлекая квадратный корень, получаем длину стороны \( DF = \sqrt{64} = 8 \). Поскольку треугольник \(DEF\) является равносторонним, все его стороны имеют одинаковую длину, равную 8. Таким образом, \(DE = EF = FD = 8\).
Уравнения для длин сторон \(DE\) и \(FE\). Пусть координаты вершины \(E\) будут \((x; y)\). Для стороны \(DE\), зная координаты \(D(-6; 0)\) и \(E(x; y)\), квадрат длины \(DE\) равен \( DE^2 = (x — (-6))^2 + (y — 0)^2 \). Упрощая, получаем \( DE^2 = (x + 6)^2 + y^2 \). Поскольку \(DE = 8\), то \( DE^2 = 8^2 = 64 \). Таким образом, первое уравнение: \( (x + 6)^2 + y^2 = 64 \). Раскрывая скобки \( (x + 6)^2 \), получаем \( x^2 + 12x + 36 \). Подставляя это, уравнение принимает вид \( x^2 + 12x + 36 + y^2 = 64 \). Это будет Уравнение 1.
Для стороны \(FE\), зная координаты \(F(2; 0)\) и \(E(x; y)\), квадрат длины \(FE\) равен \( FE^2 = (x — 2)^2 + (y — 0)^2 \). Упрощая, получаем \( FE^2 = (x — 2)^2 + y^2 \). Поскольку \(FE = 8\), то \( FE^2 = 8^2 = 64 \). Таким образом, второе уравнение: \( (x — 2)^2 + y^2 = 64 \). Раскрывая скобки \( (x — 2)^2 \), получаем \( x^2 — 4x + 4 \). Подставляя это, уравнение принимает вид \( x^2 — 4x + 4 + y^2 = 64 \). Это будет Уравнение 2.
Решение системы уравнений для нахождения \(x\). У нас есть система из двух уравнений:
1) \( x^2 + 12x + 36 + y^2 = 64 \)
2) \( x^2 — 4x + 4 + y^2 = 64 \)
Чтобы найти значение \(x\), вычтем Уравнение 2 из Уравнения 1. Вычитаем левые части и правые части уравнений: \( (x^2 + 12x + 36 + y^2) — (x^2 — 4x + 4 + y^2) = 64 — 64 \). Раскрываем скобки во второй части, меняя знаки: \( x^2 + 12x + 36 + y^2 — x^2 + 4x — 4 — y^2 = 0 \). Группируем подобные члены: \( (x^2 — x^2) + (12x + 4x) + (36 — 4) + (y^2 — y^2) = 0 \). Это упрощается до \( 0 + 16x + 32 + 0 = 0 \), то есть \( 16x + 32 = 0 \). Вычитаем 32 из обеих сторон: \( 16x = -32 \). Делим обе стороны на 16: \( x = \frac{-32}{16} \). Таким образом, \( x = -2 \).
Подстановка значения \(x\) для нахождения \(y\). Теперь, когда мы знаем \(x = -2\), подставим это значение в одно из исходных уравнений, например, в Уравнение 1: \( x^2 + 12x + 36 + y^2 = 64 \). Подставляем \(x = -2\): \( (-2)^2 + 12(-2) + 36 + y^2 = 64 \). Вычисляем значения: \( 4 — 24 + 36 + y^2 = 64 \). Суммируем числовые значения: \( -20 + 36 + y^2 = 64 \), что дает \( 16 + y^2 = 64 \). Вычитаем 16 из обеих сторон: \( y^2 = 64 — 16 \). Получаем \( y^2 = 48 \). Чтобы найти \(y\), извлекаем квадратный корень из обеих сторон: \( y = \pm\sqrt{48} \). Для упрощения \(\sqrt{48}\) находим наибольший полный квадрат, который является множителем 48. Это 16, так как \(48 = 16 \cdot 3\). Поэтому \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \). Таким образом, \( y = \pm 4\sqrt{3} \).
Координаты вершины \(E\): \( (-2; -4\sqrt{3}) \) и \( (-2; 4\sqrt{3}) \).
