ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 318 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике АВС АВ = ВС, А (5; 9), С (1; -3), модули координат точки В равны. Найдите координаты точки В.

Рассмотрим точку \(B(a; a)\):
Поскольку \(AB = BC\), то \(AB^2 = BC^2\).
Используем формулу квадрата расстояния: \((x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2\).
\((a — 5)^2 + (a — 9)^2 = (a — 1)^2 + (a — (-3))^2\)
\((a — 5)^2 + (a — 9)^2 = (a — 1)^2 + (a + 3)^2\)
\(a^2 — 10a + 25 + a^2 — 18a + 81 = a^2 — 2a + 1 + a^2 + 6a + 9\)
\(2a^2 — 28a + 106 = 2a^2 + 4a + 10\)
\(-28a + 106 = 4a + 10\)
\(106 — 10 = 4a + 28a\)
\(96 = 32a\)
\(a = \frac{96}{32}\)
\(a = 3\)
Следовательно, \(B(3; 3)\).

Рассмотрим точку \(B(a; -a)\):
Поскольку \(AB = BC\), то \(AB^2 = BC^2\).
\((a — 5)^2 + (-a — 9)^2 = (a — 1)^2 + (-a — (-3))^2\)
\((a — 5)^2 + (a + 9)^2 = (a — 1)^2 + (3 — a)^2\)
\(a^2 — 10a + 25 + a^2 + 18a + 81 = a^2 — 2a + 1 + 9 — 6a + a^2\)
\(2a^2 + 8a + 106 = 2a^2 — 8a + 10\)
\(8a + 106 = -8a + 10\)
\(8a + 8a = 10 — 106\)
\(16a = -96\)
\(a = \frac{-96}{16}\)
\(a = -6\)
Следовательно, \(B(-6; -(-6))\), то есть \(B(-6; 6)\).

Ответ: \((3; 3); (-6; 6)\).

Для нахождения координат точки \(B\), мы используем условие, что треугольник \(ABC\) является равнобедренным с равными сторонами \(AB\) и \(BC\). Это означает, что квадрат расстояния от точки \(A\) до точки \(B\) равен квадрату расстояния от точки \(B\) до точки \(C\), то есть \(AB^2 = BC^2\).

Даны координаты точек: \(A(5; 9)\) и \(C(1; -3)\). Координаты точки \(B\) обозначим как \((x; y)\). По условию, модули координат точки \(B\) равны, что означает \(|x| = |y|\). Это приводит к двум возможным случаям для координат точки \(B\): либо \(x = y\), либо \(x = -y\). Мы обозначим общую координату как \(a\), так что точка \(B\) может быть \((a; a)\) или \((a; -a)\).

Формула для квадрата расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) выглядит следующим образом: \((x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2\).

Рассмотрим первый случай, когда координаты точки \(B\) равны, то есть \(B(a; a)\).

Вычислим квадрат расстояния \(AB^2\):
\(AB^2 = (a — 5)^2 + (a — 9)^2\)

Вычислим квадрат расстояния \(BC^2\):
\(BC^2 = (a — 1)^2 + (a — (-3))^2 = (a — 1)^2 + (a + 3)^2\)

Приравняем \(AB^2\) и \(BC^2\):
\((a — 5)^2 + (a — 9)^2 = (a — 1)^2 + (a + 3)^2\)

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения \((u — v)^2 = u^2 — 2uv + v^2\) и \((u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2\):
\((a^2 — 10a + 25) + (a^2 — 18a + 81) = (a^2 — 2a + 1) + (a^2 + 6a + 9)\)

Объединим подобные члены в каждой части уравнения:
\(2a^2 — 28a + 106 = 2a^2 + 4a + 10\)

Вычтем \(2a^2\) из обеих частей уравнения, чтобы упростить его:
\(-28a + 106 = 4a + 10\)

Перенесем все члены с \(a\) в одну сторону уравнения, а постоянные члены — в другую. Для этого прибавим \(28a\) к обеим частям и вычтем \(10\) из обеих частей:
\(106 — 10 = 4a + 28a\)
\(96 = 32a\)

Разделим обе части уравнения на \(32\), чтобы найти значение \(a\):
\(a = \frac{96}{32}\)
\(a = 3\)

Таким образом, в первом случае координаты точки \(B\) равны \((3; 3)\).

Теперь рассмотрим второй случай, когда координаты точки \(B\) противоположны по знаку, то есть \(B(a; -a)\).

Вычислим квадрат расстояния \(AB^2\):
\(AB^2 = (a — 5)^2 + (-a — 9)^2\)
Заметим, что \((-a — 9)^2 = (-(a + 9))^2 = (a + 9)^2\).
Следовательно, \(AB^2 = (a — 5)^2 + (a + 9)^2\)

Вычислим квадрат расстояния \(BC^2\):
\(BC^2 = (a — 1)^2 + (-a — (-3))^2 = (a — 1)^2 + (-a + 3)^2\)
Заметим, что \((-a + 3)^2 = (3 — a)^2\).
Следовательно, \(BC^2 = (a — 1)^2 + (3 — a)^2\)

Приравняем \(AB^2\) и \(BC^2\):
\((a — 5)^2 + (a + 9)^2 = (a — 1)^2 + (3 — a)^2\)

Раскроем скобки:
\((a^2 — 10a + 25) + (a^2 + 18a + 81) = (a^2 — 2a + 1) + (9 — 6a + a^2)\)

Объединим подобные члены в каждой части уравнения:
\(2a^2 + 8a + 106 = 2a^2 — 8a + 10\)

Вычтем \(2a^2\) из обеих частей уравнения:
\(8a + 106 = -8a + 10\)

Перенесем все члены с \(a\) в одну сторону, а постоянные члены — в другую. Для этого прибавим \(8a\) к обеим частям и вычтем \(106\) из обеих частей:
\(8a + 8a = 10 — 106\)
\(16a = -96\)

Разделим обе части уравнения на \(16\), чтобы найти значение \(a\):
\(a = \frac{-96}{16}\)
\(a = -6\)

Таким образом, во втором случае координаты точки \(B\) равны \((-6; -(-6))\), что упрощается до \((-6; 6)\).

Ответ: \((3; 3); (-6; 6)\).