ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 319 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты всех точек С оси абсцисс таких, что треугольник АВС — равнобедренный и А (1; 1), В (2; 3).

Координаты точек: \(A(1; 1)\), \(B(2; 3)\), \(C(x; 0)\).
Квадраты расстояний:
\(AC^2 = (x — 1)^2 + (0 — 1)^2 = (x — 1)^2 + 1\)
\(BC^2 = (x — 2)^2 + (0 — 3)^2 = (x — 2)^2 + 9\)
\(AB^2 = (2 — 1)^2 + (3 — 1)^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5\)

Случай 1: \(AC = BC\)
\(AC^2 = BC^2\)
\((x — 1)^2 + 1 = (x — 2)^2 + 9\)
\(x^2 — 2x + 1 + 1 = x^2 — 4x + 4 + 9\)
\(x^2 — 2x + 2 = x^2 — 4x + 13\)
\(2x = 11\)
\(x = \frac{11}{2} = 5.5\)
Точка \(C(5.5; 0)\).

Случай 2: \(AC = AB\)
\(AC^2 = AB^2\)
\((x — 1)^2 + 1 = 5\)
\((x — 1)^2 = 4\)
\(x — 1 = 2\) или \(x — 1 = -2\)
\(x_1 = 3\) или \(x_2 = -1\)
Точки \(C(3; 0)\) и \(C(-1; 0)\).

Случай 3: \(BC = AB\)
\(BC^2 = AB^2\)
\((x — 2)^2 + 9 = 5\)
\((x — 2)^2 = -4\)
Действительных решений нет.

Ответ: \((5.5; 0)\), \((-1; 0)\), \((3; 0)\).

Для нахождения координат точки \(C\) на оси абсцисс, при которых треугольник \(ABC\) является равнобедренным, необходимо рассмотреть все возможные случаи равенства сторон. Точка \(C\) лежит на оси абсцисс, что означает, что ее \(y\)-координата равна нулю. Таким образом, координаты точки \(C\) можно представить как \((x; 0)\). Координаты точек \(A\) и \(B\) заданы как \(A(1; 1)\) и \(B(2; 3)\) соответственно.

Для вычисления длин сторон треугольника мы будем использовать формулу расстояния между двумя точками \(P_1(x_1; y_1)\) и \(P_2(x_2; y_2)\), которая определяется как \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\). Для удобства вычислений мы будем работать с квадратами расстояний, чтобы избежать корней: \(d^2 = (x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2\).

Вычислим квадраты длин всех трех сторон треугольника:
Квадрат длины стороны \(AC\):
\(AC^2 = (x_C — x_A)^2 + (y_C — y_A)^2 = (x — 1)^2 + (0 — 1)^2 = (x — 1)^2 +\)
\(+ (-1)^2 = (x — 1)^2 + 1\).

Квадрат длины стороны \(BC\):
\(BC^2 = (x_C — x_B)^2 + (y_C — y_B)^2 = (x — 2)^2 + (0 — 3)^2 = (x — 2)^2 +\)
\(+ (-3)^2 = (x — 2)^2 + 9\).

Квадрат длины стороны \(AB\):
\(AB^2 = (x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 = (2 — 1)^2 + (3 — 1)^2 = 1^2 + 2^2 =\)
\(= 1 + 4 = 5\).

Теперь рассмотрим три возможных случая, когда треугольник \(ABC\) может быть равнобедренным:

Случай 1: Сторона \(AC\) равна стороне \(BC\).
Если \(AC = BC\), то их квадраты также равны: \(AC^2 = BC^2\).
Подставим ранее найденные выражения:
\((x — 1)^2 + 1 = (x — 2)^2 + 9\).
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\):
\(x^2 — 2x + 1 + 1 = x^2 — 4x + 4 + 9\).
Упростим обе части уравнения:
\(x^2 — 2x + 2 = x^2 — 4x + 13\).
Вычтем \(x^2\) из обеих частей уравнения:
\(-2x + 2 = -4x + 13\).
Перенесем все члены с \(x\) в левую часть, а константы в правую:
\(-2x + 4x = 13 — 2\).
\(2x = 11\).
Разделим обе части на 2:
\(x = \frac{11}{2} = 5.5\).
Таким образом, в этом случае координаты точки \(C\) равны \((5.5; 0)\).

Случай 2: Сторона \(AC\) равна стороне \(AB\).
Если \(AC = AB\), то \(AC^2 = AB^2\).
Подставим выражения:
\((x — 1)^2 + 1 = 5\).
Вычтем 1 из обеих частей:
\((x — 1)^2 = 4\).
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Помним, что квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное:
\(x — 1 = \pm\sqrt{4}\).
\(x — 1 = \pm 2\).
Это дает нам два отдельных уравнения:
а) \(x — 1 = 2 \Rightarrow x = 2 + 1 \Rightarrow x = 3\).
б) \(x — 1 = -2 \Rightarrow x = -2 + 1 \Rightarrow x = -1\).
Таким образом, в этом случае существуют две возможные точки \(C\): \((3; 0)\) и \((-1; 0)\).

Случай 3: Сторона \(BC\) равна стороне \(AB\).
Если \(BC = AB\), то \(BC^2 = AB^2\).
Подставим выражения:
\((x — 2)^2 + 9 = 5\).
Вычтем 9 из обеих частей:
\((x — 2)^2 = 5 — 9\).
\((x — 2)^2 = -4\).
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поскольку \((x — 2)^2\) должно быть равно \(-4\), это уравнение не имеет действительных решений для \(x\). Следовательно, в этом случае не существует точки \(C\) на оси абсцисс, при которой \(BC = AB\).

Объединяя все найденные решения, получаем, что существуют три возможные точки \(C\) на оси абсцисс, при которых треугольник \(ABC\) является равнобедренным.

Ответ: \((5.5; 0)\), \((-1; 0)\), \((3; 0)\).