ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 320 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите координаты всех точек В оси ординат таких, что треугольник АВС — прямоугольный и А (1; 3), С (3; 7).

Краткий ответ:

Даны точки: \(A(1; 3)\), \(C(3; 7)\), \(B(0; y)\).
Найдем квадраты длин сторон треугольника:
\(AB^2 = (0 — 1)^2 + (y — 3)^2 = (-1)^2 + (y — 3)^2 = 1 + (y — 3)^2\)
\(BC^2 = (3 — 0)^2 + (7 — y)^2 = 3^2 + (7 — y)^2 = 9 + (7 — y)^2\)
\(AC^2 = (3 — 1)^2 + (7 — 3)^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20\)

1) Если угол \(A = 90^\circ\), то по теореме Пифагора \(AB^2 + AC^2 = BC^2\).
\(1 + (y — 3)^2 + 20 = 9 + (7 — y)^2\)
\(1 + y^2 — 6y + 9 + 20 = 9 + 49 — 14y + y^2\)
\(y^2 — 6y + 30 = y^2 — 14y + 58\)
\(-6y + 30 = -14y + 58\)
\(14y — 6y = 58 — 30\)
\(8y = 28\)
\(y = \frac{28}{8} = 3.5\)

2) Если угол \(B = 90^\circ\), то по теореме Пифагора \(AB^2 + BC^2 = AC^2\).
\((1 + (y — 3)^2) + (9 + (7 — y)^2) = 20\)
\(1 + y^2 — 6y + 9 + 9 + 49 — 14y + y^2 = 20\)
\(2y^2 — 20y + 68 = 20\)
\(2y^2 — 20y + 48 = 0\)
\(y^2 — 10y + 24 = 0\)
Найдем дискриминант \(D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 — 96 = 4\).
\(y_1 = \frac{10 — \sqrt{4}}{2} = \frac{10 — 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
\(y_2 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6\)

3) Если угол \(C = 90^\circ\), то по теореме Пифагора \(AC^2 + BC^2 = AB^2\).
\(20 + (9 + (7 — y)^2) = 1 + (y — 3)^2\)
\(20 + 9 + 49 — 14y + y^2 = 1 + y^2 — 6y + 9\)
\(y^2 — 14y + 78 = y^2 — 6y + 10\)
\(-14y + 78 = -6y + 10\)
\(78 — 10 = 14y — 6y\)
\(68 = 8y\)
\(y = \frac{68}{8} = 8.5\)

Ответ: \((0; 3.5)\); \((0; 4)\); \((0; 6)\); \((0; 8.5)\).

Подробный ответ:

Даны координаты вершин треугольника \(A(1; 3)\), \(C(3; 7)\) и \(B(0; y)\), так как точка \(B\) лежит на оси ординат. Для того чтобы треугольник \(ABC\) был прямоугольным, один из его углов должен быть равен \(90^\circ\). Мы используем теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Сначала найдем квадраты длин всех сторон треугольника \(ABC\) с использованием формулы расстояния между двумя точками \(d^2 = (x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2\).

Для стороны \(AB\), где \(A(1; 3)\) и \(B(0; y)\):
\(AB^2 = (0 — 1)^2 + (y — 3)^2 = (-1)^2 + (y — 3)^2 = 1 + (y — 3)^2\).

Для стороны \(BC\), где \(B(0; y)\) и \(C(3; 7)\):
\(BC^2 = (3 — 0)^2 + (7 — y)^2 = 3^2 + (7 — y)^2 = 9 + (7 — y)^2\).

Для стороны \(AC\), где \(A(1; 3)\) и \(C(3; 7)\):
\(AC^2 = (3 — 1)^2 + (7 — 3)^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20\).

Теперь рассмотрим три возможных случая, когда один из углов треугольника является прямым.

Случай 1: Угол при вершине \(A\) равен \(90^\circ\).
В этом случае, по теореме Пифагора, \(AB^2 + AC^2 = BC^2\).
Подставим найденные выражения для квадратов длин сторон:
\(1 + (y — 3)^2 + 20 = 9 + (7 — y)^2\).
Раскроем скобки, используя формулу \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\):
\(1 + (y^2 — 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) + 20 = 9 + (7^2 — 2 \cdot 7 \cdot y + y^2)\).
\(1 + y^2 — 6y + 9 + 20 = 9 + 49 — 14y + y^2\).
Упростим обе части уравнения:
\(y^2 — 6y + 30 = y^2 — 14y + 58\).
Вычтем \(y^2\) из обеих частей уравнения:
\(-6y + 30 = -14y + 58\).
Перенесем члены с \(y\) в одну сторону, а числовые константы в другую:
\(14y — 6y = 58 — 30\).
\(8y = 28\).
Разделим обе части на 8:
\(y = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5\).
Таким образом, одна из возможных координат \(y\) для точки \(B\) равна \(3.5\).

Случай 2: Угол при вершине \(B\) равен \(90^\circ\).
В этом случае, по теореме Пифагора, \(AB^2 + BC^2 = AC^2\).
Подставим найденные выражения для квадратов длин сторон:
\((1 + (y — 3)^2) + (9 + (7 — y)^2) = 20\).
Раскроем скобки:
\(1 + (y^2 — 6y + 9) + 9 + (49 — 14y + y^2) = 20\).
Сгруппируем подобные члены:
\(1 + y^2 — 6y + 9 + 9 + 49 — 14y + y^2 = 20\).
\(2y^2 — 20y + 68 = 20\).
Перенесем 20 в левую часть уравнения:
\(2y^2 — 20y + 68 — 20 = 0\).
\(2y^2 — 20y + 48 = 0\).
Разделим все уравнение на 2:
\(y^2 — 10y + 24 = 0\).
Это квадратное уравнение вида \(ay^2 + by + c = 0\). Найдем его корни с помощью дискриминанта \(D = b^2 — 4ac\):
\(D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 — 96 = 4\).
Так как \(D > 0\), есть два действительных корня, которые находятся по формуле \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\(y_1 = \frac{-(-10) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 — 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\).
\(y_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6\).
Таким образом, две возможные координаты \(y\) для точки \(B\) равны \(4\) и \(6\).

Случай 3: Угол при вершине \(C\) равен \(90^\circ\).
В этом случае, по теореме Пифагора, \(AC^2 + BC^2 = AB^2\).
Подставим найденные выражения для квадратов длин сторон:
\(20 + (9 + (7 — y)^2) = 1 + (y — 3)^2\).
Раскроем скобки:
\(20 + 9 + (49 — 14y + y^2) = 1 + (y^2 — 6y + 9)\).
Упростим обе части уравнения:
\(29 + 49 — 14y + y^2 = 1 + y^2 — 6y + 9\).
\(y^2 — 14y + 78 = y^2 — 6y + 10\).
Вычтем \(y^2\) из обеих частей уравнения:
\(-14y + 78 = -6y + 10\).
Перенесем члены с \(y\) в одну сторону, а числовые константы в другую:
\(78 — 10 = 14y — 6y\).
\(68 = 8y\).
Разделим обе части на 8:
\(y = \frac{68}{8} = \frac{17}{2} = 8.5\).
Таким образом, еще одна возможная координата \(y\) для точки \(B\) равна \(8.5\).

Объединяя все найденные значения \(y\), получаем, что точка \(B\) может иметь следующие координаты: \((0; 3.5)\), \((0; 4)\), \((0; 6)\), \((0; 8.5)\).

Оцени решение