ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 321 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В треугольнике ABC \(\angle C = 90^\circ\), АВ = 9 см, ВС = 3 см. На гипотенузе АВ отметили точку М так, что АМ : МВ = 1 : 2. Найдите отрезок СМ.
В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\) с прямым углом \(\angle C\), найдем \(\cos \angle B\). Он равен отношению прилежащего катета \(BC\) к гипотенузе \(AB\): \(\cos \angle B = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).
Точка \(M\) делит гипотенузу \(AB\) в отношении \(AM : MB = 1 : 2\). Это значит, что \(MB\) составляет \(\frac{2}{1+2} = \frac{2}{3}\) от всей гипотенузы \(AB\). Таким образом, \(BM = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 \text{ см}\).
Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle BCM\). Для нахождения стороны \(CM\) применим теорему косинусов: \(CM^2 = BC^2 + BM^2 — 2 \cdot BC \cdot BM \cdot \cos \angle B\).
Подставим известные значения: \(CM^2 = 3^2 + 6^2 — 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{1}{3}\).
Вычислим: \(CM^2 = 9 + 36 — 12\).
Получаем: \(CM^2 = 33\).
Следовательно, \(CM = \sqrt{33} \text{ см}\).
Для начала, рассмотрим данный нам прямоугольный треугольник \(\triangle ABC\). Известно, что угол \(\angle C\) является прямым, то есть \(\angle C = 90^\circ\). Длина гипотенузы \(AB\) составляет \(9\) сантиметров, а длина катета \(BC\) равна \(3\) сантиметрам.
В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\) мы можем найти косинус угла \(\angle B\). Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. В данном случае, прилежащим катетом к углу \(\angle B\) является сторона \(BC\), а гипотенузой — сторона \(AB\). Следовательно, мы можем записать: \(\cos \angle B = \frac{BC}{AB}\). Подставив известные значения, получаем: \(\cos \angle B = \frac{3}{9}\). Упростив эту дробь, находим \(\cos \angle B = \frac{1}{3}\).
Далее, нам дана информация о точке \(M\), которая лежит на гипотенузе \(AB\). Известно, что точка \(M\) делит гипотенузу \(AB\) в отношении \(AM : MB = 1 : 2\). Это означает, что отрезок \(AB\) разделен на \(1 + 2 = 3\) равные части. Отрезок \(BM\) составляет \(2\) из этих \(3\) частей, то есть \(BM = \frac{2}{3}\) от общей длины гипотенузы \(AB\). Зная, что \(AB = 9\) см, мы можем вычислить длину отрезка \(BM\): \(BM = \frac{2}{3} \cdot 9 = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}\).
Теперь, когда у нас есть длины сторон \(BC\) и \(BM\), а также значение косинуса угла \(\angle B\), мы можем рассмотреть треугольник \(\triangle BCM\). Для того чтобы найти длину отрезка \(CM\), который является стороной этого треугольника, мы воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит, что квадрат длины любой стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Применяя эту теорему к стороне \(CM\) в треугольнике \(\triangle BCM\), получаем: \(CM^2 = BC^2 + BM^2 — 2 \cdot BC \cdot BM \cdot \cos \angle B\).
Подставим в это уравнение известные нам значения: \(BC = 3\), \(BM = 6\), и \(\cos \angle B = \frac{1}{3}\). Получаем: \(CM^2 = 3^2 + 6^2 — 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{1}{3}\). Вычислим квадраты: \(3^2 = 9\) и \(6^2 = 36\). Произведение \(2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{1}{3}\) равно \(2 \cdot 6 = 12\). Таким образом, уравнение принимает вид: \(CM^2 = 9 + 36 — 12\).
Выполним сложение и вычитание: \(CM^2 = 45 — 12\). Это дает нам \(CM^2 = 33\). Чтобы найти длину отрезка \(CM\), необходимо извлечь квадратный корень из числа \(33\). Следовательно, \(CM = \sqrt{33} \text{ см}\).
