ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 323 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ BD параллелограмма ABCD равна 24 см, точка Е — середина стороны ВС. Найдите отрезки, на которые прямая АЕ делит диагональ BD.

Так как ABCD — параллелограмм, \(BC \parallel AD\). Рассмотрим \(\triangle BME\) и \(\triangle DMA\). \(\angle EBM = \angle ADM\) как накрест лежащие углы при \(BC \parallel AD\) и секущей \(BD\). \(\angle BME = \angle DMA\) как вертикальные углы. Следовательно, \(\triangle BME \sim \triangle DMA\) по двум углам.

Из подобия треугольников следует отношение сторон: \(\frac{BM}{DM} = \frac{BE}{AD}\). В параллелограмме \(AD = BC\). Так как \(E\) — середина \(BC\), то \(BE = \frac{1}{2}BC\). Подставим: \(\frac{BM}{DM} = \frac{\frac{1}{2}BC}{BC} = \frac{1}{2}\). Отсюда \(DM = 2BM\).

Также известно, что \(BD = BM + DM\). Подставим значения: \(24 = BM + 2BM\), что дает \(24 = 3BM\). Отсюда \(BM = \frac{24}{3} = 8\) см. Тогда \(DM = 2 \cdot 8 = 16\) см.

Дано: ABCD — параллелограмм, BD = 24 см, E — середина стороны BC, M — точка пересечения AE и BD. Требуется найти длины отрезков BM и DM.

Поскольку ABCD является параллелограммом, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, сторона BC параллельна стороне AD, то есть \(BC \parallel AD\).

Рассмотрим прямые BC и AD, которые параллельны, и секущую BD. В этом случае углы \(\angle CBD\) и \(\angle ADB\) являются накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых и секущей, накрест лежащие углы равны, поэтому \(\angle CBD = \angle ADB\).

Теперь рассмотрим два треугольника: \(\triangle BME\) и \(\triangle DMA\). Мы уже установили, что \(\angle EBM = \angle ADM\) (это те же углы \(\angle CBD\) и \(\angle ADB\)). Также, углы \(\angle BME\) и \(\angle DMA\) являются вертикальными углами, образованными пересечением прямых AE и BD. Вертикальные углы всегда равны, поэтому \(\angle BME = \angle DMA\).

Таким образом, в треугольниках \(\triangle BME\) и \(\triangle DMA\) мы имеем две пары равных углов: \(\angle EBM = \angle ADM\) и \(\angle BME = \angle DMA\). Согласно признаку подобия треугольников по двум углам, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Следовательно, \(\triangle BME \sim \triangle DMA\).

Из подобия треугольников следует, что отношения их соответствующих сторон равны. Запишем отношение сторон, лежащих напротив равных углов, или сторон, соединяющих вершины равных углов: \(\frac{BM}{DM} = \frac{BE}{AD}\).

В параллелограмме противоположные стороны равны по длине. Поэтому длина стороны AD равна длине стороны BC, то есть \(AD = BC\).

По условию задачи, точка E является серединой стороны BC. Это означает, что длина отрезка BE составляет половину длины стороны BC, то есть \(BE = \frac{1}{2}BC\).

Теперь подставим выражения для BE и AD в отношение сторон подобных треугольников: \(\frac{BM}{DM} = \frac{\frac{1}{2}BC}{BC}\). Сократив BC в числителе и знаменателе, получаем: \(\frac{BM}{DM} = \frac{1}{2}\).

Из этого отношения следует, что \(DM = 2BM\). Это ключевое соотношение между длинами отрезков BM и DM.

Нам также известно, что диагональ BD имеет длину 24 см. Отрезок BD состоит из двух частей: BM и DM. Следовательно, \(BD = BM + DM\).

Подставим известное значение BD и выражение для DM в это уравнение: \(24 = BM + 2BM\).

Сложим члены с BM: \(24 = 3BM\).

Чтобы найти длину BM, разделим обе части уравнения на 3: \(BM = \frac{24}{3}\). Вычислив, получаем \(BM = 8\) см.

Теперь, используя соотношение \(DM = 2BM\), мы можем найти длину DM: \(DM = 2 \cdot 8\). Вычислив, получаем \(DM = 16\) см.

Таким образом, прямая AE делит диагональ BD на отрезки длиной 8 см и 16 см.