ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 325 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок CD — диаметр окружности. Найдите координаты центра окружности и её радиус, если С (6; -4), D (-2; 10).

Координаты центра окружности:
\(x = \frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
\(y = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
Центр окружности имеет координаты \(O(2; 3)\).

Радиус окружности:
\(R = \sqrt{(2-6)^{2} + (3-(-4))^{2}}\)
\(R = \sqrt{(-4)^{2} + (7)^{2}}\)
\(R = \sqrt{16 + 49}\)
\(R = \sqrt{65}\)

Ответ: O(2; 3); \(\sqrt{65}\).

Для того чтобы найти координаты центра окружности и ее радиус, когда известен диаметр, заданный двумя точками C(6; -4) и D(-2; 10), необходимо выполнить два основных шага.

Первый шаг заключается в определении координат центра окружности. Поскольку отрезок CD является диаметром окружности, ее центр будет находиться ровно посередине этого отрезка. Для нахождения координат середины отрезка, заданного двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), используются следующие формулы: координата \(x\) середины равна \(\frac{x_1 + x_2}{2}\), а координата \(y\) середины равна \(\frac{y_1 + y_2}{2}\). Применяя эти формулы к данным точкам C(6; -4) и D(-2; 10), мы получаем для координаты \(x\) центра: \(\frac{6 + (-2)}{2} = \frac{6 — 2}{2} = \frac{4}{2} = 2\). Для координаты \(y\) центра: \(\frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3\). Таким образом, центр окружности, который мы обозначим как точка O, имеет координаты \(O(2; 3)\).

Второй шаг — это вычисление радиуса окружности. Радиус окружности представляет собой расстояние от ее центра до любой точки, лежащей на окружности. В данном случае, мы можем использовать либо точку C, либо точку D, поскольку обе они лежат на окружности. Удобнее всего взять найденный центр \(O(2; 3)\) и одну из заданных точек, например, C(6; -4). Формула для нахождения расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) в декартовой системе координат выглядит следующим образом: \(R = \sqrt{(x_2 — x_1)^{2} + (y_2 — y_1)^{2}}\). Подставляя координаты центра \(O(2; 3)\) как \((x_1, y_1)\) и координаты точки C(6; -4) как \((x_2, y_2)\) в эту формулу, мы получаем: \(R = \sqrt{(6 — 2)^{2} + (-4 — 3)^{2}}\). Далее, вычисляем разности в скобках: \(R = \sqrt{(4)^{2} + (-7)^{2}}\). Затем возводим эти значения в квадрат: \(R = \sqrt{16 + 49}\). Наконец, складываем полученные значения и извлекаем квадратный корень: \(R = \sqrt{65}\). Это и есть радиус данной окружности.

Таким образом, центр окружности находится в точке \(O(2; 3)\), а ее радиус составляет \(\sqrt{65}\).