ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 328 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение окружности, если известны координаты её центра А и радиус R:

1) А (3; 4), R = 4;

2) А (-2; 0), R = 1;

3) А (7; -6), R = \(\sqrt{2}\);

4) А (0; 5), R = \(\sqrt{7}\).

Уравнение окружности имеет вид \((x — h)^2 + (y — k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) — центр, \(r\) — радиус.

1) Для A(3; 4), R = 4:
\((x — 3)^2 + (y — 4)^2 = 4^2\)
\((x — 3)^2 + (y — 4)^2 = 16\)

2) Для A(-2; 0), R = 1:
\((x — (-2))^2 + (y — 0)^2 = 1^2\)
\((x + 2)^2 + y^2 = 1\)

3) Для A(7; -6), R = \(\sqrt{2}\):
\((x — 7)^2 + (y — (-6))^2 = (\sqrt{2})^2\)
\((x — 7)^2 + (y + 6)^2 = 2\)

4) Для A(0; 5), R = \(\sqrt{7}\):
\((x — 0)^2 + (y — 5)^2 = (\sqrt{7})^2\)
\(x^2 + (y — 5)^2 = 7\)

Уравнение окружности определяется по формуле \((x — h)^2 + (y — k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) представляют собой координаты центра окружности, а \(r\) обозначает её радиус. Эта формула позволяет однозначно задать положение и размер любой окружности на координатной плоскости, исходя из её центра и радиуса.

Для первого случая, когда центр окружности находится в точке A(3; 4) и её радиус R равен 4, мы подставляем соответствующие значения в общую формулу. Координата \(h\) центра равна 3, а координата \(k\) центра равна 4. Радиус \(r\) равен 4. Таким образом, уравнение принимает вид \((x — 3)^2 + (y — 4)^2 = 4^2\). После возведения радиуса в квадрат, правая часть уравнения становится 16, и окончательное уравнение окружности будет \((x — 3)^2 + (y — 4)^2 = 16\).

Во втором случае, если центр окружности расположен в точке A(-2; 0) и радиус R равен 1, мы также используем общую формулу. Здесь координата \(h\) равна -2, а координата \(k\) равна 0. Радиус \(r\) равен 1. Подставляя эти значения, получаем \((x — (-2))^2 + (y — 0)^2 = 1^2\). Упрощая выражение \((x — (-2))\) до \((x + 2)\) и \((y — 0)\) до \(y\), а также возводя радиус в квадрат, получаем окончательное уравнение \((x + 2)^2 + y^2 = 1\).

Рассмотрим третий случай, когда центр окружности находится в точке A(7; -6), а радиус R равен \(\sqrt{2}\). В этом случае координата \(h\) центра равна 7, а координата \(k\) центра равна -6. Радиус \(r\) равен \(\sqrt{2}\). Подставляя эти значения в формулу, получаем \((x — 7)^2 + (y — (-6))^2 = (\sqrt{2})^2\). Упрощая выражение \((y — (-6))\) до \((y + 6)\) и возводя \(\sqrt{2}\) в квадрат, что дает 2, мы приходим к уравнению окружности \((x — 7)^2 + (y + 6)^2 = 2\).

Наконец, для четвертого случая, где центр окружности находится в точке A(0; 5) и радиус R равен \(\sqrt{7}\), мы снова применяем ту же логику. Координата \(h\) центра равна 0, а координата \(k\) центра равна 5. Радиус \(r\) равен \(\sqrt{7}\). Подставляя эти значения, получаем \((x — 0)^2 + (y — 5)^2 = (\sqrt{7})^2\). Упрощая \((x — 0)\) до \(x\) и возводя \(\sqrt{7}\) в квадрат, что дает 7, мы получаем окончательное уравнение окружности \(x^2 + (y — 5)^2 = 7\).