ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 334 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Окружность задана уравнением \((x + 6)^2 + (y — 1)^2 = 10\). Выясните, какие из точек А (-3; 0), В (-5; -2), C (1; 0), D (-4; 3), E (-7; -3), F (-9; 0) лежат:

1) на окружности;

2) внутри окружности;

3) вне окружности.

Краткий ответ:

Окружность задана уравнением \((x + 6)^2 + (y — 1)^2 = 10\). Центр окружности \(O(-6; 1)\), квадрат радиуса \(R^2 = 10\).

Точка А(-3; 0): Вычисляем квадрат расстояния от центра до точки А: \(d_A^2 = (-3 + 6)^2 + (0 — 1)^2 = (3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10\). Так как \(d_A^2 = 10\), точка А лежит на окружности.

Точка В(-5; -2): Вычисляем квадрат расстояния от центра до точки В: \(d_B^2 = (-5 + 6)^2 + (-2 — 1)^2 = (1)^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10\). Так как \(d_B^2 = 10\), точка В лежит на окружности.

Точка С(1; 0): Вычисляем квадрат расстояния от центра до точки С: \(d_C^2 = (1 + 6)^2 + (0 — 1)^2 = (7)^2 + (-1)^2 = 49 + 1 = 50\). Так как \(d_C^2 = 50 > 10\), точка С лежит вне окружности.

Точка D(-4; 3): Вычисляем квадрат расстояния от центра до точки D: \(d_D^2 = (-4 + 6)^2 + (3 — 1)^2 = (2)^2 + (2)^2 = 4 + 4 = 8\). Так как \(d_D^2 = 8 < 10\), точка D лежит внутри окружности.

Точка Е(-7; -3): Вычисляем квадрат расстояния от центра до точки Е: \(d_E^2 = (-7 + 6)^2 + (-3 — 1)^2 = (-1)^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17\). Так как \(d_E^2 = 17 > 10\), точка Е лежит вне окружности.

Точка F(-9; 0): Вычисляем квадрат расстояния от центра до точки F: \(d_F^2 = (-9 + 6)^2 + (0 — 1)^2 = (-3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10\). Так как \(d_F^2 = 10\), точка F лежит на окружности.

1) А; В; F;
2) D;
3) С; Е.

Подробный ответ:

Для определения положения каждой из данных точек относительно заданной окружности, необходимо использовать уравнение окружности и формулу расстояния между двумя точками.

Уравнение окружности задано как \((x + 6)^2 + (y — 1)^2 = 10\). Общий вид уравнения окружности: \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = R^2\), где \((x_0, y_0)\) — координаты центра окружности, а \(R\) — её радиус. Сравнивая заданное уравнение с общим видом, мы можем определить параметры данной окружности.

Из уравнения \((x + 6)^2 + (y — 1)^2 = 10\) следует, что центр окружности находится в точке с координатами \(x_0 = -6\) и \(y_0 = 1\), то есть \(O(-6; 1)\). Квадрат радиуса окружности равен \(R^2 = 10\).

Для каждой точки \((x_p, y_p)\) мы вычислим квадрат расстояния \(d^2\) от центра окружности \(O(-6; 1)\) до этой точки по формуле: \(d^2 = (x_p — (-6))^2 + (y_p — 1)^2 = (x_p + 6)^2 + (y_p — 1)^2\). Затем мы сравним полученное значение \(d^2\) с квадратом радиуса \(R^2 = 10\).

Если \(d^2 = R^2\), то точка лежит на окружности.
Если \(d^2 < R^2\), то точка лежит внутри окружности.
Если \(d^2 > R^2\), то точка лежит вне окружности.

Рассмотрим каждую из заданных точек:

Для точки А(-3; 0):
Вычисляем квадрат расстояния \(d_A^2 = (-3 + 6)^2 + (0 — 1)^2\).
\(d_A^2 = (3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10\).
Так как \(d_A^2 = 10\) и \(R^2 = 10\), то \(d_A^2 = R^2\). Следовательно, точка А лежит на окружности.

Для точки В(-5; -2):
Вычисляем квадрат расстояния \(d_B^2 = (-5 + 6)^2 + (-2 — 1)^2\).
\(d_B^2 = (1)^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10\).
Так как \(d_B^2 = 10\) и \(R^2 = 10\), то \(d_B^2 = R^2\). Следовательно, точка В лежит на окружности.

Для точки С(1; 0):
Вычисляем квадрат расстояния \(d_C^2 = (1 + 6)^2 + (0 — 1)^2\).
\(d_C^2 = (7)^2 + (-1)^2 = 49 + 1 = 50\).
Так как \(d_C^2 = 50\) и \(R^2 = 10\), то \(d_C^2 > R^2\). Следовательно, точка С лежит вне окружности.

Для точки D(-4; 3):
Вычисляем квадрат расстояния \(d_D^2 = (-4 + 6)^2 + (3 — 1)^2\).
\(d_D^2 = (2)^2 + (2)^2 = 4 + 4 = 8\).
Так как \(d_D^2 = 8\) и \(R^2 = 10\), то \(d_D^2 < R^2\). Следовательно, точка D лежит внутри окружности.

Для точки Е(-7; -3):
Вычисляем квадрат расстояния \(d_E^2 = (-7 + 6)^2 + (-3 — 1)^2\).
\(d_E^2 = (-1)^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17\).
Так как \(d_E^2 = 17\) и \(R^2 = 10\), то \(d_E^2 > R^2\). Следовательно, точка Е лежит вне окружности.

Для точки F(-9; 0):
Вычисляем квадрат расстояния \(d_F^2 = (-9 + 6)^2 + (0 — 1)^2\).
\(d_F^2 = (-3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10\).
Так как \(d_F^2 = 10\) и \(R^2 = 10\), то \(d_F^2 = R^2\). Следовательно, точка F лежит на окружности.

Обобщая результаты:
1) Точки, лежащие на окружности: А, В, F.
2) Точки, лежащие внутри окружности: D.
3) Точки, лежащие вне окружности: С, Е.

Оцени решение