ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 336 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Составьте уравнение окружности с центром в точке М (-3; 1), проходящей через точку К (-1; 5).

Краткий ответ:

Центр окружности \(M(-3; 1)\), значит \(h = -3\) и \(k = 1\).
Радиус \(R\) — это расстояние между точками \(M(-3; 1)\) и \(K(-1; 5)\).
\(R = \sqrt{(-1 — (-3))^2 + (5 — 1)^2}\)
\(R = \sqrt{(-1 + 3)^2 + (4)^2}\)
\(R = \sqrt{(2)^2 + (4)^2}\)
\(R = \sqrt{4 + 16}\)
\(R = \sqrt{20}\)
Квадрат радиуса \(R^2 = (\sqrt{20})^2 = 20\).
Уравнение окружности: \((x — h)^2 + (y — k)^2 = R^2\).
Подставляем значения: \((x — (-3))^2 + (y — 1)^2 = 20\).
\((x + 3)^2 + (y — 1)^2 = 20\).

Подробный ответ:

Для составления уравнения окружности нам необходимо знать координаты ее центра и значение радиуса.

Общее уравнение окружности имеет вид \((x — h)^2 + (y — k)^2 = R^2\), где \((h, k)\) — это координаты центра окружности, а \(R\) — ее радиус.

В данной задаче нам даны координаты центра окружности — точка \(M(-3; 1)\). Из этого следует, что значение \(h\) равно \(-3\), а значение \(k\) равно \(1\).

Далее, нам известно, что окружность проходит через точку \(K(-1; 5)\). Расстояние от центра окружности до любой точки на окружности является радиусом. Следовательно, радиус \(R\) — это расстояние между точками \(M(-3; 1)\) и \(K(-1; 5)\).

Для вычисления расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) используется формула расстояния: \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\).
Применим эту формулу, подставив координаты центра \(M(-3; 1)\) как \((x_1, y_1)\) и координаты точки на окружности \(K(-1; 5)\) как \((x_2, y_2)\):
\(R = \sqrt{(-1 — (-3))^2 + (5 — 1)^2}\)

Выполним вычисления внутри скобок:
\(-1 — (-3)\) становится \(-1 + 3\), что равно \(2\).
\(5 — 1\) равно \(4\).

Теперь подставим эти результаты обратно в формулу для радиуса:
\(R = \sqrt{(2)^2 + (4)^2}\)

Вычислим квадраты чисел:
\((2)^2\) равно \(4\).
\((4)^2\) равно \(16\).

Теперь сложим полученные значения под квадратным корнем:
\(R = \sqrt{4 + 16}\)
\(R = \sqrt{20}\)

В уравнении окружности используется квадрат радиуса \(R^2\). Вычислим его:
\(R^2 = (\sqrt{20})^2\)
Возведение квадратного корня в квадрат дает число под корнем, поэтому:
\(R^2 = 20\)

Наконец, подставим найденные значения \(h = -3\), \(k = 1\) и \(R^2 = 20\) в общее уравнение окружности \((x — h)^2 + (y — k)^2 = R^2\):
\((x — (-3))^2 + (y — 1)^2 = 20\)

Упростим выражение \((x — (-3))\), которое становится \((x + 3)\):
\((x + 3)^2 + (y — 1)^2 = 20\)

Таким образом, уравнение окружности, центр которой находится в точке \(M(-3; 1)\) и которая проходит через точку \(K(-1; 5)\), имеет вид \((x + 3)^2 + (y — 1)^2 = 20\).

Оцени решение