ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 337 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ, если А (2; -7), В (-2; 3).

1) Координаты центра: \(x = \frac{2 — 2}{2} = 0\), \(y = \frac{-7 + 3}{2} = -2\).
2) Радиус данной окружности: \(R = \sqrt{(0 — 2)^2 + (-2 — (-7))^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}\).
Ответ: \(x^2 + (y + 2)^2 = 29\).

Для того чтобы составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ, необходимо выполнить несколько последовательных шагов.

Сначала определим координаты центра окружности. Центр окружности является серединой отрезка, который служит её диаметром. В данном случае, это отрезок АВ. Координаты точки А даны как \(A(2; -7)\), а координаты точки В как \(B(-2; 3)\). Для нахождения координат середины отрезка используется формула: \(x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}\) и \(y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}\). Подставляя значения, получаем для x-координаты центра: \(x_c = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0\). Для y-координаты центра: \(y_c = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\). Таким образом, центр окружности находится в точке с координатами \(C(0; -2)\).

Далее необходимо найти радиус окружности. Радиус окружности — это расстояние от её центра до любой точки, лежащей на окружности. В данном случае, мы можем использовать расстояние от центра \(C(0; -2)\) до одной из данных точек, например, до точки \(A(2; -7)\). Формула для нахождения расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) в декартовой системе координат выглядит как \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\). Подставляя координаты центра \(C(0; -2)\) и точки \(A(2; -7)\), получаем: \(R = \sqrt{(2 — 0)^2 + (-7 — (-2))^2}\). Упрощаем выражение: \(R = \sqrt{(2)^2 + (-7 + 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-5)^2}\). Вычисляем квадраты и сумму: \(R = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}\). Следовательно, радиус окружности равен \(\sqrt{29}\).

Наконец, составим уравнение окружности. Общий вид уравнения окружности с центром в точке \((h, k)\) и радиусом \(R\) имеет вид \((x — h)^2 + (y — k)^2 = R^2\). Мы уже нашли координаты центра \(h = 0\) и \(k = -2\), а также радиус \(R = \sqrt{29}\). Подставляем эти значения в общее уравнение окружности: \((x — 0)^2 + (y — (-2))^2 = (\sqrt{29})^2\). Упрощаем полученное выражение: \(x^2 + (y + 2)^2 = 29\). Это и есть искомое уравнение окружности.