Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 338 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что отрезок АВ является диаметром окружности \((x — 5)^2 + (y + 4)^2 = 17\), если А (1; -5), В (9; -3).
1) Расстояние между точками:
\(AB^2 = (9-1)^2 + (-3 — (-5))^2\);
\(AB^2 = 8^2 + (-3+5)^2\);
\(AB^2 = 8^2 + 2^2 = 64 + 4 = 68\);
\(AB = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}\).
Для окружности \((x-5)^2 + (y+4)^2 = 17\), радиус \(R = \sqrt{17}\).
Следовательно, \(AB = 2R\).
2) Середина данного отрезка:
\(x = \frac{1+9}{2} = \frac{10}{2} = 5\);
\(y = \frac{-5+(-3)}{2} = \frac{-8}{2} = -4\).
Середина отрезка AB имеет координаты \((5, -4)\).
Центр окружности \((x-5)^2 + (y+4)^2 = 17\) также имеет координаты \((5, -4)\).
Поскольку середина отрезка AB совпадает с центром окружности, и длина отрезка AB равна диаметру окружности, отрезок AB является диаметром.
Для того чтобы доказать, что отрезок AB является диаметром окружности \((x — 5)^2 + (y + 4)^2 = 17\), необходимо выполнить два ключевых условия. Во-первых, длина отрезка AB должна быть равна удвоенному радиусу (то есть диаметру) окружности. Во-вторых, середина отрезка AB должна совпадать с центром окружности. Последовательно проверим выполнение каждого из этих условий.
Сначала определим центр и радиус данной окружности. Уравнение окружности в общем виде записывается как \((x — h)^2 + (y — k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) представляют собой координаты центра окружности, а \(r\) — ее радиус. Сравнивая заданное уравнение \((x — 5)^2 + (y + 4)^2 = 17\) с общим видом, мы видим, что \(h = 5\) и \(k = -4\) (поскольку \((y + 4)^2\) можно переписать как \((y — (-4))^2\)). Таким образом, центр окружности, обозначим его как \(C\), имеет координаты \((5, -4)\). Также из уравнения следует, что \(r^2 = 17\), откуда радиус окружности \(r = \sqrt{17}\). Соответственно, диаметр окружности равен \(2r = 2\sqrt{17}\).
Далее вычислим длину отрезка AB, используя координаты точек \(A(1, -5)\) и \(B(9, -3)\). Формула для расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) выглядит как \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\). Подставляя координаты точек A и B, получаем: \(AB = \sqrt{(9 — 1)^2 + (-3 — (-5))^2}\). Упрощая выражение, имеем \(AB = \sqrt{(8)^2 + (-3 + 5)^2}\), что равно \(AB = \sqrt{8^2 + 2^2}\). Далее, \(AB = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68}\). Чтобы упростить \(\sqrt{68}\), заметим, что \(68 = 4 \times 17\). Следовательно, \(AB = \sqrt{4 \times 17} = \sqrt{4} \times \sqrt{17} = 2\sqrt{17}\). Мы видим, что длина отрезка AB \((2\sqrt{17})\) в точности совпадает с диаметром окружности \((2\sqrt{17})\), что подтверждает первое условие.
Теперь найдем координаты середины отрезка AB. Формула для нахождения середины отрезка с конечными точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) задается как \(\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\). Для отрезка AB с точками \(A(1, -5)\) и \(B(9, -3)\): координата x середины будет \(\frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5\), а координата y середины будет \(\frac{-5 + (-3)}{2} = \frac{-8}{2} = -4\). Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты \((5, -4)\).
Наконец, сравним координаты середины отрезка AB с координатами центра окружности. Мы определили, что центр окружности находится в точке \((5, -4)\), и только что вычислили, что середина отрезка AB также находится в точке \((5, -4)\). Поскольку эти координаты полностью совпадают, второе условие также выполняется.
Поскольку оба условия — равенство длины отрезка AB диаметру окружности и совпадение середины отрезка AB с центром окружности — выполнены, мы можем с уверенностью заключить, что отрезок AB является диаметром данной окружности \((x — 5)^2 + (y + 4)^2 = 17\).
