ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 339 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что отрезок CD является хордой окружности \(x^2 + (y — 9)^2 = 169\), если С (5; -3), D (-12; 4).

Отрезок CD является хордой:
\(x^2 + (y-9)^2 = 169\);
C(5; -3), D(-12; 4);

1) Длина отрезка ОС:
\(OC^2 = (0-5)^2 + (9+3)^2\);
\(OC^2 = 5^2 + 12^2\);
\(OC^2 = 25 + 144 = 169\);

2) Длина отрезка OD:
\(OD^2 = (0+12)^2 + (9-4)^2\);
\(OD^2 = 12^2 + 5^2\);
\(OD^2 = 144+25=169\);

Что и требовалось доказать.

Уравнение окружности задано как \(x^2 + (y-9)^2 = 169\).
Это уравнение имеет стандартный вид \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) — координаты центра окружности, а \(r\) — ее радиус.
Из данного уравнения мы можем определить, что центр окружности O находится в точке \((0, 9)\), поскольку \(h=0\) и \(k=9\).
Квадрат радиуса окружности \(r^2\) равен \(169\). Следовательно, радиус окружности \(r\) равен \(\sqrt{169}\), что составляет \(13\).

Чтобы доказать, что отрезок CD является хордой окружности, необходимо показать, что обе точки C и D лежат на данной окружности. Точка лежит на окружности, если расстояние от этой точки до центра окружности равно радиусу окружности.

Сначала проверим точку C с координатами \((5, -3)\). Мы вычислим квадрат расстояния от центра окружности O \((0, 9)\) до точки C \((5, -3)\) по формуле расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), которая равна \(\sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\). Для удобства будем использовать квадрат расстояния.
Квадрат расстояния \(OC^2\) вычисляется как:
\(OC^2 = (5 — 0)^2 + (-3 — 9)^2\)
\(OC^2 = (5)^2 + (-12)^2\)
\(OC^2 = 25 + 144\)
\(OC^2 = 169\)
Поскольку \(OC^2 = 169\), а квадрат радиуса окружности \(r^2\) также равен \(169\), это означает, что \(OC^2 = r^2\). Следовательно, расстояние \(OC\) равно радиусу \(r\), то есть \(OC = 13\). Это подтверждает, что точка C лежит на окружности.

Далее проверим точку D с координатами \((-12, 4)\). Аналогично, вычислим квадрат расстояния от центра окружности O \((0, 9)\) до точки D \((-12, 4)\).
Квадрат расстояния \(OD^2\) вычисляется как:
\(OD^2 = (-12 — 0)^2 + (4 — 9)^2\)
\(OD^2 = (-12)^2 + (-5)^2\)
\(OD^2 = 144 + 25\)
\(OD^2 = 169\)
Поскольку \(OD^2 = 169\), а квадрат радиуса окружности \(r^2\) также равен \(169\), это означает, что \(OD^2 = r^2\). Следовательно, расстояние \(OD\) равно радиусу \(r\), то есть \(OD = 13\). Это подтверждает, что точка D лежит на окружности.

Так как обе точки C и D лежат на окружности, отрезок CD, соединяющий эти две точки, по определению является хордой данной окружности.