ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 341 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Составьте уравнение окружности, центр которой находится на прямой \(y = -5\) и которая касается оси абсцисс в точке S (2; 0).
Центр окружности: \(x_0 = 2\), \(y_0 = -5\).
Радиус окружности: \(R = |-5 — 0| = |-5| = 5\).
Уравнение окружности: \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = R^2\).
Подставляем значения: \((x — 2)^2 + (y — (-5))^2 = 5^2\).
Итоговое уравнение: \((x — 2)^2 + (y + 5)^2 = 25\).
Для того чтобы составить уравнение окружности, нам необходимо определить координаты ее центра \((x_0, y_0)\) и значение ее радиуса \(R\).
Из условия задачи нам известно, что центр окружности расположен на прямой \(y = -5\). Это немедленно дает нам значение y-координаты центра окружности: \(y_0 = -5\).
Далее, нам дано, что окружность касается оси абсцисс (оси X) в точке \(S(2; 0)\). Поскольку окружность касается оси X в точке с x-координатой, равной 2, это означает, что x-координата центра окружности также должна быть равна 2. Это происходит потому, что радиус, проведенный к точке касания, всегда перпендикулярен касательной линии. В данном случае, касательная линия — это ось X, которая является горизонтальной, поэтому радиус будет вертикальным от центра до точки касания. Следовательно, \(x_0 = 2\).
Таким образом, мы определили полные координаты центра окружности: \(C(2; -5)\).
Теперь нам нужно найти радиус окружности \(R\). Радиус — это расстояние от центра окружности до любой точки на окружности. В данном случае, мы можем использовать точку касания \(S(2; 0)\) на оси X. Расстояние от центра \(C(2; -5)\) до точки \(S(2; 0)\) будет радиусом. Поскольку x-координаты обеих точек одинаковы, расстояние является абсолютной разницей их y-координат.
\(R = |y_S — y_C| = |0 — (-5)| = |0 + 5| = |5| = 5\). Таким образом, радиус окружности равен 5.
Общее уравнение окружности с центром в точке \((x_0, y_0)\) и радиусом \(R\) записывается в виде: \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = R^2\).
Подставим найденные значения \(x_0 = 2\), \(y_0 = -5\) и \(R = 5\) в это общее уравнение.
Получаем: \((x — 2)^2 + (y — (-5))^2 = 5^2\).
Упрощая выражение, получаем окончательное уравнение окружности: \((x — 2)^2 + (y + 5)^2 = 25\).
