ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 342 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько существует окружностей, проходящих через точку (3; 5), радиусы которых равны \(3\sqrt{5}\) и центры которых принадлежат оси ординат? Запишите уравнение каждой такой окружности.

Центр окружности лежит на оси ординат, поэтому его координаты \((0, a)\).
Радиус окружности равен \(3\sqrt{5}\), значит, \(r^2 = (3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45\).
Уравнение окружности имеет вид: \(x^2 + (y — a)^2 = 45\).
Окружность проходит через точку \((3, 5)\), подставим ее координаты в уравнение:
\(3^2 + (5 — a)^2 = 45\)
\(9 + (5 — a)^2 = 45\)
\((5 — a)^2 = 45 — 9\)
\((5 — a)^2 = 36\)
Извлечем квадратный корень:
\(5 — a = \pm\sqrt{36}\)
\(5 — a = \pm6\)
Рассмотрим два случая:
1) \(5 — a = 6\)
\(-a = 6 — 5\)
\(-a = 1\)
\(a = -1\)
Уравнение первой окружности: \(x^2 + (y — (-1))^2 = 45\), то есть \(x^2 + (y + 1)^2 = 45\).
2) \(5 — a = -6\)
\(-a = -6 — 5\)
\(-a = -11\)
\(a = 11\)
Уравнение второй окружности: \(x^2 + (y — 11)^2 = 45\).

Из условия задачи известно, что центр окружности лежит на оси ординат. Это означает, что координата \(x\) центра равна нулю. Пусть координаты центра окружности будут \((0, a)\), где \(a\) — некоторая неизвестная константа, которую нам предстоит найти.

Также нам дан радиус окружности, который равен \(3\sqrt{5}\). Для составления уравнения окружности нам потребуется квадрат радиуса, то есть \(r^2\). Вычислим его: \(r^2 = (3\sqrt{5})^2\). При возведении в квадрат произведения, каждый множитель возводится в квадрат, поэтому \(r^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45\).

Общее уравнение окружности с центром в точке \((h, k)\) и радиусом \(r\) имеет вид: \((x — h)^2 + (y — k)^2 = r^2\). Подставим в это уравнение известные нам значения: \(h = 0\), \(k = a\), и \(r^2 = 45\). Таким образом, уравнение окружности принимает вид: \((x — 0)^2 + (y — a)^2 = 45\), что упрощается до \(x^2 + (y — a)^2 = 45\).

Далее, нам известно, что окружность проходит через точку с координатами \((3, 5)\). Это означает, что если мы подставим \(x = 3\) и \(y = 5\) в уравнение окружности, оно должно быть верным. Подставим эти значения: \(3^2 + (5 — a)^2 = 45\).

Вычислим квадрат числа 3: \(9 + (5 — a)^2 = 45\). Теперь нам нужно найти значение \(a\). Для этого сначала вычтем 9 из обеих частей уравнения: \((5 — a)^2 = 45 — 9\). Выполним вычитание: \((5 — a)^2 = 36\).

Теперь у нас есть уравнение, в котором квадрат выражения равен 36. Чтобы найти само выражение \((5 — a)\), нам нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что квадратный корень может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, \(5 — a = \pm\sqrt{36}\). Вычислим квадратный корень из 36: \(\sqrt{36} = 6\). Следовательно, \(5 — a = \pm6\).

Это приводит к двум возможным случаям для значения \(a\):

Случай 1: \(5 — a = 6\).
Для того чтобы найти \(a\), вычтем 5 из обеих частей уравнения: \(-a = 6 — 5\). Это дает \(-a = 1\). Умножим обе части на \(-1\), чтобы получить \(a\): \(a = -1\).
Подставим это значение \(a = -1\) обратно в уравнение окружности \(x^2 + (y — a)^2 = 45\): \(x^2 + (y — (-1))^2 = 45\). Это упрощается до \(x^2 + (y + 1)^2 = 45\). Это уравнение первой окружности.

Случай 2: \(5 — a = -6\).
Аналогично, вычтем 5 из обеих частей уравнения: \(-a = -6 — 5\). Это дает \(-a = -11\). Умножим обе части на \(-1\): \(a = 11\).
Подставим это значение \(a = 11\) обратно в уравнение окружности \(x^2 + (y — a)^2 = 45\): \(x^2 + (y — 11)^2 = 45\). Это уравнение второй окружности.

Таким образом, существуют две такие окружности, удовлетворяющие всем заданным условиям. Их уравнения:
\(x^2 + (y + 1)^2 = 45\)
\(x^2 + (y — 11)^2 = 45\)