ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 343 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение окружности, центр которой принадлежит оси абсцисс и которая проходит через точки А (-4; 1) и В (8; 5).

Центр окружности лежит на оси абсцисс, значит его координаты \( (a; 0) \). Уравнение окружности имеет вид \( (x — a)^2 + y^2 = R^2 \).
Окружность проходит через точки \( A(-4; 1) \) и \( B(8; 5) \).
Подставим координаты точек в уравнение окружности:
Для точки \( A(-4; 1) \): \( (-4 — a)^2 + 1^2 = R^2 \)
Для точки \( B(8; 5) \): \( (8 — a)^2 + 5^2 = R^2 \)
Приравняем выражения для \( R^2 \):
\( (-4 — a)^2 + 1^2 = (8 — a)^2 + 5^2 \)
\( (16 + 8a + a^2) + 1 = (64 — 16a + a^2) + 25 \)
\( a^2 + 8a + 17 = a^2 — 16a + 89 \)
\( 8a + 17 = -16a + 89 \)
\( 8a + 16a = 89 — 17 \)
\( 24a = 72 \)
\( a = \frac{72}{24} \)
\( a = 3 \)
Теперь найдем \( R^2 \), подставив \( a = 3 \) в одно из уравнений, например, для точки \( B \):
\( R^2 = (8 — 3)^2 + 5^2 \)
\( R^2 = 5^2 + 5^2 \)
\( R^2 = 25 + 25 \)
\( R^2 = 50 \)
Окончательное уравнение окружности: \( (x — 3)^2 + y^2 = 50 \).

Для того чтобы найти уравнение окружности, центр которой лежит на оси абсцисс и которая проходит через две заданные точки, мы должны использовать стандартное уравнение окружности и свойства заданных точек.

Сначала определим общее уравнение окружности. Если центр окружности лежит на оси абсцисс, это означает, что его y-координата равна нулю. Пусть координаты центра будут \( (a; 0) \). Радиус окружности обозначим как \( R \). Тогда стандартное уравнение окружности имеет вид \( (x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = R^2 \). Подставляя координаты центра \( (a; 0) \), получаем: \( (x — a)^2 + (y — 0)^2 = R^2 \), что упрощается до \( (x — a)^2 + y^2 = R^2 \).

Далее мы используем информацию о том, что окружность проходит через две заданные точки: \( A(-4; 1) \) и \( B(8; 5) \). Если окружность проходит через эти точки, то их координаты должны удовлетворять уравнению окружности.
Для точки \( A(-4; 1) \) подставим \( x = -4 \) и \( y = 1 \) в уравнение окружности:
\( (-4 — a)^2 + 1^2 = R^2 \)
Это первое уравнение, связывающее \( a \) и \( R^2 \).

Для точки \( B(8; 5) \) подставим \( x = 8 \) и \( y = 5 \) в уравнение окружности:
\( (8 — a)^2 + 5^2 = R^2 \)
Это второе уравнение, связывающее \( a \) и \( R^2 \).

Теперь, поскольку оба выражения равны \( R^2 \), мы можем приравнять их друг к другу, чтобы найти значение \( a \):
\( (-4 — a)^2 + 1^2 = (8 — a)^2 + 5^2 \)
Развернем квадратные выражения, используя формулу \( (P \pm Q)^2 = P^2 \pm 2PQ + Q^2 \).
Для \( (-4 — a)^2 \): это эквивалентно \( (-(4 + a))^2 = (4 + a)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot a + a^2 = 16 + 8a + a^2 \).
Для \( (8 — a)^2 \): это \( 8^2 — 2 \cdot 8 \cdot a + a^2 = 64 — 16a + a^2 \).
Подставим эти развернутые выражения обратно в уравнение:
\( (16 + 8a + a^2) + 1 = (64 — 16a + a^2) + 25 \)
Объединим постоянные члены в каждой части уравнения:
\( a^2 + 8a + 17 = a^2 — 16a + 89 \)
Теперь вычтем \( a^2 \) из обеих частей уравнения. Это позволяет нам избавиться от квадратичного члена и получить линейное уравнение относительно \( a \):
\( 8a + 17 = -16a + 89 \)
Перенесем все члены, содержащие \( a \), в одну сторону уравнения, а постоянные члены — в другую. Добавим \( 16a \) к обеим частям уравнения:
\( 8a + 16a + 17 = 89 \)
\( 24a + 17 = 89 \)
Вычтем \( 17 \) из обеих частей уравнения:
\( 24a = 89 — 17 \)
\( 24a = 72 \)
Разделим обе части на \( 24 \), чтобы найти значение \( a \):
\( a = \frac{72}{24} \)
\( a = 3 \)
Таким образом, x-координата центра окружности равна \( 3 \), и центр окружности находится в точке \( (3; 0) \).

Теперь, когда мы знаем значение \( a \), мы можем найти \( R^2 \) (квадрат радиуса) путем подстановки значения \( a = 3 \) в любое из двух исходных уравнений для \( R^2 \). Возьмем уравнение, полученное из точки \( B(8; 5) \):
\( R^2 = (8 — a)^2 + 5^2 \)
Подставим \( a = 3 \):
\( R^2 = (8 — 3)^2 + 5^2 \)
Выполним вычитание в скобках:
\( R^2 = 5^2 + 5^2 \)
Возведем числа в квадрат:
\( R^2 = 25 + 25 \)
Сложим значения:
\( R^2 = 50 \)
Таким образом, квадрат радиуса окружности равен \( 50 \).

Наконец, мы можем записать окончательное уравнение окружности, используя найденные значения \( a = 3 \) и \( R^2 = 50 \) в общем уравнении \( (x — a)^2 + y^2 = R^2 \):
\( (x — 3)^2 + y^2 = 50 \)