ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 344 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что окружность \((x + 6)^2 + (y — 3)^2 = 36\):

1) касается оси ординат;

2) пересекает ось абсцисс;

3) не имеет общих точек с прямой \(y = 10\).

Уравнение окружности: \((x + 6)^2 + (y — 3)^2 = 36\).
Центр окружности находится в точке \((-6, 3)\), а радиус окружности равен \(\sqrt{36} = 6\).

1) Для оси ординат (\(x = 0\)) расстояние от центра окружности до оси ординат равно \(\left|-6\right| = 6\). Так как это расстояние равно радиусу окружности (6), окружность касается оси ординат. Точка касания имеет координату по \(x\), равную \(-6 + 6 = 0\), то есть \((0, 3)\).

2) Для оси абсцисс (\(y = 0\)) расстояние от центра окружности до оси абсцисс равно \(\left|3\right| = 3\). Так как это расстояние меньше радиуса окружности (6), окружность пересекает ось абсцисс. Нижняя точка окружности по \(y\) равна \(3 — 6 = -3\), а верхняя точка по \(y\) равна \(3 + 6 = 9\). Поскольку \(0\) находится между \(-3\) и \(9\), окружность пересекает ось абсцисс.

3) Для прямой \(y = 10\) расстояние от центра окружности до этой прямой равно \(\left|3 — 10\right| = \left|-7\right| = 7\). Так как это расстояние больше радиуса окружности (6), окружность не имеет общих точек с прямой \(y = 10\). Максимальная координата \(y\) для окружности равна \(3 + 6 = 9\), что меньше \(10\), поэтому окружность находится ниже прямой \(y = 10\).

Уравнение окружности задано в стандартном виде: \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = R^2\), где \((x_0, y_0)\) — это координаты центра окружности, а \(R\) — это ее радиус. Для данного уравнения \((x + 6)^2 + (y — 3)^2 = 36\), мы можем определить, что \(x_0 = -6\), \(y_0 = 3\), и \(R^2 = 36\). Следовательно, радиус окружности \(R = \sqrt{36} = 6\). Таким образом, центр окружности находится в точке \((-6, 3)\), а ее радиус равен \(6\).

Для того чтобы проверить, касается ли окружность оси ординат, которая определяется уравнением \(x = 0\), нам необходимо найти расстояние от центра окружности до этой оси. Расстояние от точки \((x_0, y_0)\) до вертикальной прямой \(x = k\) вычисляется как \(\left|x_0 — k\right|\). В нашем случае, \(x_0 = -6\) и \(k = 0\), поэтому расстояние равно \(\left|-6 — 0\right| = \left|-6\right| = 6\). Если это расстояние равно радиусу окружности, то окружность касается оси. Поскольку вычисленное расстояние (6) в точности равно радиусу окружности (6), мы можем заключить, что окружность касается оси ординат. Точка касания будет иметь x-координату, равную \(x_0 + R\) или \(x_0 — R\), в зависимости от того, с какой стороны окружность касается оси. В данном случае, \(-6 + 6 = 0\), что соответствует оси ординат. Следовательно, точка касания находится на оси ординат и имеет координаты \((0, 3)\).

Для того чтобы проверить, пересекает ли окружность ось абсцисс, которая определяется уравнением \(y = 0\), нам необходимо найти расстояние от центра окружности до этой оси. Расстояние от точки \((x_0, y_0)\) до горизонтальной прямой \(y = k\) вычисляется как \(\left|y_0 — k\right|\). В нашем случае, \(y_0 = 3\) и \(k = 0\), поэтому расстояние равно \(\left|3 — 0\right| = \left|3\right| = 3\). Если это расстояние меньше радиуса окружности, то окружность пересекает ось. Поскольку вычисленное расстояние (3) меньше радиуса окружности (6), мы можем заключить, что окружность пересекает ось абсцисс. Это также можно подтвердить, рассмотрев диапазон y-координат, которые занимает окружность. Минимальная y-координата окружности будет \(y_0 — R = 3 — 6 = -3\), а максимальная y-координата будет \(y_0 + R = 3 + 6 = 9\). Поскольку ось абсцисс соответствует \(y = 0\), и \(0\) находится в интервале \([-3, 9]\), окружность действительно пересекает ось абсцисс.

Для того чтобы проверить, не имеет ли окружность общих точек с прямой \(y = 10\), нам необходимо найти расстояние от центра окружности до этой прямой. Расстояние от точки \((x_0, y_0)\) до горизонтальной прямой \(y = k\) вычисляется как \(\left|y_0 — k\right|\). В нашем случае, \(y_0 = 3\) и \(k = 10\), поэтому расстояние равно \(\left|3 — 10\right| = \left|-7\right| = 7\). Если это расстояние больше радиуса окружности, то окружность не имеет общих точек с прямой. Поскольку вычисленное расстояние (7) больше радиуса окружности (6), мы можем заключить, что окружность не имеет общих точек с прямой \(y = 10\). Это также подтверждается тем, что максимальная y-координата окружности равна \(y_0 + R = 3 + 6 = 9\). Так как \(9 < 10\), вся окружность находится ниже прямой \(y = 10\), и, следовательно, они не имеют общих точек.