ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 345 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Установите, является ли данное уравнение уравнением окружности:

1) \(x^2 + 2x + y^2 — 10y — 23 = 0\);

2) \(x^2 — 12x + y^2 + 4y + 40 = 0\);

3) \(x^2 + y^2 + 6y + 8x + 34 = 0\);

4) \(x^2 + y^2 — 4x — 14y + 51 = 0\).

В случае утвердительного ответа укажите координаты центра и радиус этой окружности.

1) Преобразуем уравнение \(x^2 + 2x + y^2 — 10y — 23 = 0\).
Группируем члены: \((x^2 + 2x) + (y^2 — 10y) = 23\).
Дополняем до полных квадратов: \((x^2 + 2x + 1) + (y^2 — 10y + 25) = 23 + 1 + 25\).
Получаем: \((x+1)^2 + (y-5)^2 = 49\).
Это уравнение окружности с центром в точке \((-1; 5)\) и радиусом \(R = \sqrt{49} = 7\).

2) Преобразуем уравнение \(x^2 — 12x + y^2 + 4y + 40 = 0\).
Группируем члены: \((x^2 — 12x) + (y^2 + 4y) = -40\).
Дополняем до полных квадратов: \((x^2 — 12x + 36) + (y^2 + 4y + 4) = -40 + 36 + 4\).
Получаем: \((x-6)^2 + (y+2)^2 = 0\).
Так как правая часть равна \(0\), это не окружность, а точка. Ответ: нет.

3) Преобразуем уравнение \(x^2 + y^2 + 6y + 8x + 34 = 0\).
Группируем члены: \((x^2 + 8x) + (y^2 + 6y) = -34\).
Дополняем до полных квадратов: \((x^2 + 8x + 16) + (y^2 + 6y + 9) = -34 + 16 + 9\).
Получаем: \((x+4)^2 + (y+3)^2 = -9\).
Так как правая часть отрицательна, это не окружность. Ответ: нет.

4) Преобразуем уравнение \(x^2 + y^2 — 4x — 14y + 51 = 0\).
Группируем члены: \((x^2 — 4x) + (y^2 — 14y) = -51\).
Дополняем до полных квадратов: \((x^2 — 4x + 4) + (y^2 — 14y + 49) = -51 + 4 + 49\).
Получаем: \((x-2)^2 + (y-7)^2 = 2\).
Это уравнение окружности с центром в точке \((2; 7)\) и радиусом \(R = \sqrt{2}\).

Для определения, является ли каждое из данных уравнений уравнением окружности, и для нахождения её центра и радиуса, мы будем приводить каждое уравнение к стандартному виду уравнения окружности: \((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\), где \((a, b)\) — координаты центра окружности, а \(R\) — её радиус. Если \(R^2 > 0\), то это окружность. Если \(R^2 = 0\), то это точка. Если \(R^2 < 0\), то это не окружность.

Рассмотрим первое уравнение: \(x^2 + 2x + y^2 — 10y — 23 = 0\).
Для начала, перегруппируем члены уравнения, собрав вместе члены, содержащие \(x\), члены, содержащие \(y\), и перенесем свободный член в правую часть уравнения. Таким образом, получаем:
\((x^2 + 2x) + (y^2 — 10y) = 23\).
Далее, для каждого выражения в скобках дополним его до полного квадрата. Для выражения с \(x\), \(x^2 + 2x\), мы берем половину коэффициента при \(x\) (что равно \(\frac{2}{2} = 1\)) и возводим её в квадрат (\(1^2 = 1\)). Это значение мы добавляем как к левой, так и к правой части уравнения.
Для выражения с \(y\), \(y^2 — 10y\), мы берем половину коэффициента при \(y\) (что равно \(\frac{-10}{2} = -5\)) и возводим её в квадрат (\((-5)^2 = 25\)). Это значение также добавляем к обеим частям уравнения.
В результате, уравнение примет вид:
\((x^2 + 2x + 1) + (y^2 — 10y + 25) = 23 + 1 + 25\).
Теперь каждое выражение в скобках можно свернуть в полный квадрат:
\((x+1)^2 + (y-5)^2 = 49\).
Сравнивая это уравнение со стандартным видом \((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\), мы видим, что \(a = -1\), \(b = 5\), и \(R^2 = 49\).
Так как \(R^2 = 49 > 0\), это уравнение является уравнением окружности.
Координаты центра окружности: \((-1; 5)\).
Радиус окружности: \(R = \sqrt{49} = 7\).

Рассмотрим второе уравнение: \(x^2 — 12x + y^2 + 4y + 40 = 0\).
Перегруппируем члены и перенесем свободный член:
\((x^2 — 12x) + (y^2 + 4y) = -40\).
Дополним до полных квадратов. Для \(x^2 — 12x\), половина коэффициента при \(x\) равна \(\frac{-12}{2} = -6\), а \((-6)^2 = 36\).
Для \(y^2 + 4y\), половина коэффициента при \(y\) равна \(\frac{4}{2} = 2\), а \(2^2 = 4\).
Добавляем эти значения к обеим частям уравнения:
\((x^2 — 12x + 36) + (y^2 + 4y + 4) = -40 + 36 + 4\).
Сворачиваем полные квадраты:
\((x-6)^2 + (y+2)^2 = 0\).
В этом случае, \(R^2 = 0\). Уравнение описывает не окружность, а единственную точку с координатами \((6; -2)\).
Ответ: нет.

Рассмотрим третье уравнение: \(x^2 + y^2 + 6y + 8x + 34 = 0\).
Перегруппируем члены:
\((x^2 + 8x) + (y^2 + 6y) = -34\).
Дополним до полных квадратов. Для \(x^2 + 8x\), половина коэффициента при \(x\) равна \(\frac{8}{2} = 4\), а \(4^2 = 16\).
Для \(y^2 + 6y\), половина коэффициента при \(y\) равна \(\frac{6}{2} = 3\), а \(3^2 = 9\).
Добавляем эти значения к обеим частям уравнения:
\((x^2 + 8x + 16) + (y^2 + 6y + 9) = -34 + 16 + 9\).
Сворачиваем полные квадраты:
\((x+4)^2 + (y+3)^2 = -9\).
В этом случае, \(R^2 = -9\). Так как радиус в квадрате не может быть отрицательным числом, это уравнение не описывает окружность.
Ответ: нет.

Рассмотрим четвертое уравнение: \(x^2 + y^2 — 4x — 14y + 51 = 0\).
Перегруппируем члены:
\((x^2 — 4x) + (y^2 — 14y) = -51\).
Дополним до полных квадратов. Для \(x^2 — 4x\), половина коэффициента при \(x\) равна \(\frac{-4}{2} = -2\), а \((-2)^2 = 4\).
Для \(y^2 — 14y\), половина коэффициента при \(y\) равна \(\frac{-14}{2} = -7\), а \((-7)^2 = 49\).
Добавляем эти значения к обеим частям уравнения:
\((x^2 — 4x + 4) + (y^2 — 14y + 49) = -51 + 4 + 49\).
Сворачиваем полные квадраты:
\((x-2)^2 + (y-7)^2 = 2\).
Сравнивая это уравнение со стандартным видом, мы видим, что \(a = 2\), \(b = 7\), и \(R^2 = 2\).
Так как \(R^2 = 2 > 0\), это уравнение является уравнением окружности.
Координаты центра окружности: \((2; 7)\).
Радиус окружности: \(R = \sqrt{2}\).