ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 346 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:
1) \(x^2+y^2 + 16y + 60 = 0\);
2) \(x^2 + y^2 — 8x + 4y + 15 = 0\).

1) Уравнение \(x^2 + y^2 + 16y + 60 = 0\).
Перепишем: \(x^2 + (y^2 + 16y + 64) — 64 + 60 = 0\).
Получаем: \(x^2 + (y+8)^2 — 4 = 0\).
Окончательный вид: \(x^2 + (y+8)^2 = 4\).
Центр окружности: \((0; -8)\).
Радиус окружности: \(R = \sqrt{4} = 2\).

2) Уравнение \(x^2 + y^2 — 8x + 4y + 15 = 0\).
Перепишем: \((x^2 — 8x + 16) — 16 + (y^2 + 4y + 4) — 4 + 15 = 0\).
Получаем: \((x-4)^2 + (y+2)^2 — 16 — 4 + 15 = 0\).
Упрощаем: \((x-4)^2 + (y+2)^2 — 5 = 0\).
Окончательный вид: \((x-4)^2 + (y+2)^2 = 5\).
Центр окружности: \((4; -2)\).
Радиус окружности: \(R = \sqrt{5}\).

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, необходимо привести его к стандартному виду уравнения окружности: \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) — координаты центра окружности, а \(r\) — ее радиус.

Рассмотрим первое уравнение: \(x^2 + y^2 + 16y + 60 = 0\).
Первым шагом мы сгруппируем члены, содержащие одну и ту же переменную, и перепишем уравнение следующим образом: \(x^2 + (y^2 + 16y) + 60 = 0\).
Далее, для членов, содержащих \(y\), мы выполним операцию дополнения до полного квадрата. Коэффициент при \(y\) равен \(16\). Чтобы найти число, которое нужно добавить для образования полного квадрата, мы делим этот коэффициент на \(2\) и возводим результат в квадрат: \((\frac{16}{2})^2 = 8^2 = 64\).
Теперь мы добавим и вычтем это число внутри скобок, чтобы не изменить значение уравнения: \(x^2 + (y^2 + 16y + 64 — 64) + 60 = 0\).
Выражение \(y^2 + 16y + 64\) является полным квадратом и может быть записано как \((y+8)^2\). Подставим это обратно в уравнение: \(x^2 + (y+8)^2 — 64 + 60 = 0\).
Объединим постоянные члены: \(x^2 + (y+8)^2 — 4 = 0\).
Перенесем постоянный член в правую часть уравнения: \(x^2 + (y+8)^2 = 4\).
Это уравнение имеет стандартный вид окружности \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\). Сравнивая, мы видим, что \(h=0\), \(k=-8\), и \(r^2=4\).
Следовательно, радиус окружности \(r = \sqrt{4} = 2\).
Таким образом, для первого уравнения центр окружности находится в точке \((0; -8)\), а ее радиус равен \(2\).

Рассмотрим второе уравнение: \(x^2 + y^2 — 8x + 4y + 15 = 0\).
Сначала сгруппируем члены, содержащие \(x\), и члены, содержащие \(y\): \((x^2 — 8x) + (y^2 + 4y) + 15 = 0\).
Теперь дополним до полного квадрата для членов с \(x\). Коэффициент при \(x\) равен \(-8\). Половина этого коэффициента, возведенная в квадрат, составляет: \((\frac{-8}{2})^2 = (-4)^2 = 16\).
Аналогично, дополним до полного квадрата для членов с \(y\). Коэффициент при \(y\) равен \(4\). Половина этого коэффициента, возведенная в квадрат, составляет: \((\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4\).
Добавим и вычтем эти значения в соответствующих группах: \((x^2 — 8x + 16 — 16) + (y^2 + 4y + 4 — 4) + 15 = 0\).
Перепишем выражения в скобках как полные квадраты: \((x-4)^2 — 16 + (y+2)^2 — 4 + 15 = 0\).
Объединим все постоянные члены: \((x-4)^2 + (y+2)^2 — 16 — 4 + 15 = 0\).
Выполним сложение и вычитание постоянных: \((x-4)^2 + (y+2)^2 — 5 = 0\).
Перенесем постоянный член в правую часть уравнения: \((x-4)^2 + (y+2)^2 = 5\).
Это уравнение также имеет стандартный вид окружности \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\). Сравнивая, мы видим, что \(h=4\), \(k=-2\), и \(r^2=5\).
Следовательно, радиус окружности \(r = \sqrt{5}\).
Таким образом, для второго уравнения центр окружности находится в точке \((4; -2)\), а ее радиус равен \(\sqrt{5}\).