Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 347 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:
1) \(x^2+y^2 + 16y + 60 = 0\);
2) \(x^2 + y^2 — 8x + 4y + 15 = 0\).
Дано: \(A(-1; -2)\), \(B(-1; 2)\), \(C(5; 2)\).
1) Найдем квадраты длин сторон:
\(AB^2 = (-1 — (-1))^2 + (2 — (-2))^2 = (-1+1)^2 + (2+2)^2 = 0^2 + 4^2 = 16\).
\(BC^2 = (5 — (-1))^2 + (2 — 2)^2 = (5+1)^2 + 0^2 = 6^2 + 0^2 = 36\).
\(AC^2 = (5 — (-1))^2 + (2 — (-2))^2 = (5+1)^2 + (2+2)^2 = 6^2 + 4^2=\)
\( = 36 + 16 = 52\).
Проверим теорему косинусов для угла \(B\):
\(\cos \angle B = \frac{AB^2 + BC^2 — AC^2}{2 \cdot \sqrt{AB^2} \cdot \sqrt{BC^2}} = \frac{16 + 36 — 52}{2 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{36}} = \frac{0}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{0}{48} = 0\).
Так как \(\cos \angle B = 0\), то \(\angle B = 90^\circ\). Следовательно, \(\triangle ABC\) — прямоугольный.
2) Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы. Гипотенуза — \(AC\).
Координаты центра \(O(x_0; y_0)\):
\(x_0 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
\(y_0 = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0\).
Центр окружности: \(O(2; 0)\).
3) Радиус описанной окружности \(R\) равен половине длины гипотенузы:
\(R = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{52}}{2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 13}}{2} = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}\).
Или как расстояние от центра до любой вершины, например, \(OC\):
\(R = \sqrt{(5 — 2)^2 + (2 — 0)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\).
Уравнение окружности: \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = R^2\).
\((x — 2)^2 + (y — 0)^2 = (\sqrt{13})^2\).
\((x — 2)^2 + y^2 = 13\).
Даны координаты вершин треугольника: \(A(-1; -2)\), \(B(-1; 2)\), \(C(5; 2)\). Требуется доказать, что треугольник является прямоугольным, найти координаты центра описанной окружности, ее радиус и записать уравнение окружности.
Для определения типа треугольника, вычислим квадраты длин его сторон, используя формулу расстояния между двумя точками \(d^2 = (x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2\).
Длина стороны \(AB\):
\(AB^2 = (x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 = (-1 — (-1))^2 + (2 — (-2))^2\).
\(AB^2 = (-1 + 1)^2 + (2 + 2)^2 = 0^2 + 4^2 = 0 + 16 = 16\).
Длина стороны \(BC\):
\(BC^2 = (x_C — x_B)^2 + (y_C — y_B)^2 = (5 — (-1))^2 + (2 — 2)^2\).
\(BC^2 = (5 + 1)^2 + 0^2 = 6^2 + 0^2 = 36 + 0 = 36\).
Длина стороны \(AC\):
\(AC^2 = (x_C — x_A)^2 + (y_C — y_A)^2 = (5 — (-1))^2 + (2 — (-2))^2\).
\(AC^2 = (5 + 1)^2 + (2 + 2)^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52\).
Теперь проверим выполнение теоремы Пифагора. Если сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным.
Сравним \(AB^2 + BC^2\) с \(AC^2\):
\(AB^2 + BC^2 = 16 + 36 = 52\).
Мы видим, что \(AB^2 + BC^2 = AC^2\), так как \(52 = 52\). Следовательно, треугольник \(ABC\) является прямоугольным, и прямой угол находится напротив самой длинной стороны (гипотенузы), то есть напротив стороны \(AC\). Таким образом, прямой угол находится в вершине \(B\).
Центр описанной окружности для прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. В данном случае гипотенузой является сторона \(AC\). Найдем координаты середины отрезка \(AC\) по формулам: \(x_O = \frac{x_A + x_C}{2}\) и \(y_O = \frac{y_A + y_C}{2}\).
Координата \(x\) центра \(O\): \(x_O = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
Координата \(y\) центра \(O\): \(y_O = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0\).
Таким образом, центр описанной окружности находится в точке \(O(2; 0)\).
Радиус описанной окружности \(R\) для прямоугольного треугольника равен половине длины гипотенузы.
Длина гипотенузы \(AC = \sqrt{AC^2} = \sqrt{52}\).
Упростим \(\sqrt{52}\): \(\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13} = 2\sqrt{13}\).
Радиус \(R = \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}\).
Уравнение окружности в общем виде записывается как \((x — h)^2 + (y — k)^2 = R^2\), где \((h, k)\) — координаты центра, а \(R\) — радиус.
Подставим найденные значения центра \(O(2; 0)\), то есть \(h=2\) и \(k=0\), и радиуса \(R=\sqrt{13}\) в уравнение:
\((x — 2)^2 + (y — 0)^2 = (\sqrt{13})^2\).
\((x — 2)^2 + y^2 = 13\).
