Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 348 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Составьте уравнение окружности, радиус которой равен 5, проходящей через точки С (-1; 5) и D (6; 4).
Даны радиус \(R = 5\), точки \(C(-1; 5)\) и \(D(6; 4)\).
Уравнение окружности имеет вид \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = R^2\). Так как \(R = 5\), то \(R^2 = 25\).
1) Для точки \(C(-1; 5)\):
\((-1 — x_0)^2 + (5 — y_0)^2 = 25\)
\((x_0 + 1)^2 + (y_0 — 5)^2 = 25\)
\(x_0^2 + 2x_0 + 1 + y_0^2 — 10y_0 + 25 = 25\)
\(x_0^2 + y_0^2 + 2x_0 — 10y_0 = -1\)
2) Для точки \(D(6; 4)\):
\((6 — x_0)^2 + (4 — y_0)^2 = 25\)
\(x_0^2 — 12x_0 + 36 + y_0^2 — 8y_0 + 16 = 25\)
\(x_0^2 + y_0^2 — 12x_0 — 8y_0 = -27\)
3) Вычтем второе уравнение из первого:
\((x_0^2 + y_0^2 + 2x_0 — 10y_0) — (x_0^2 + y_0^2 — 12x_0 — 8y_0) = -1 — (-27)\)
\(14x_0 — 2y_0 = 26\)
Разделим на 2: \(7x_0 — y_0 = 13\), откуда \(y_0 = 7x_0 — 13\).
4) Подставим \(y_0 = 7x_0 — 13\) во второе уравнение \((6 — x_0)^2 + (4 — y_0)^2 = 25\):
\((6 — x_0)^2 + (4 — (7x_0 — 13))^2 = 25\)
\((6 — x_0)^2 + (17 — 7x_0)^2 = 25\)
\((x_0 — 6)^2 + (7x_0 — 17)^2 = 25\)
\(x_0^2 — 12x_0 + 36 + 49x_0^2 — 238x_0 + 289 = 25\)
\(50x_0^2 — 250x_0 + 325 = 25\)
\(50x_0^2 — 250x_0 + 300 = 0\)
Разделим на 50: \(x_0^2 — 5x_0 + 6 = 0\).
Найдем дискриминант: \(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\).
Корни: \(x_{0_1} = \frac{5 — \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2\) и \(x_{0_2} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3\).
Найдем соответствующие значения \(y_0\) с помощью \(y_0 = 7x_0 — 13\):
Для \(x_{0_1} = 2\): \(y_{0_1} = 7(2) — 13 = 14 — 13 = 1\).
Для \(x_{0_2} = 3\): \(y_{0_2} = 7(3) — 13 = 21 — 13 = 8\).
Получаем два возможных центра окружности: \((2, 1)\) и \((3, 8)\).
Соответствующие уравнения окружностей:
\((x — 2)^2 + (y — 1)^2 = 25\)
\((x — 3)^2 + (y — 8)^2 = 25\)
Начнем с общего уравнения окружности. Уравнение окружности с центром в точке \((x_0, y_0)\) и радиусом \(R\) имеет вид \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = R^2\). В нашем случае, радиус \(R\) равен \(5\), поэтому \(R^2\) будет равен \(5^2 = 25\). Таким образом, уравнение окружности, которую мы ищем, будет иметь вид \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = 25\). Нам необходимо найти координаты центра окружности \((x_0, y_0)\).
Поскольку окружность проходит через точку \(C(-1; 5)\), мы можем подставить координаты этой точки в уравнение окружности. Заменим \(x\) на \(-1\) и \(y\) на \(5\):
\((-1 — x_0)^2 + (5 — y_0)^2 = 25\)
Обратите внимание, что \((-1 — x_0)^2\) можно переписать как \((-(1 + x_0))^2\), что равно \((1 + x_0)^2\).
Тогда уравнение примет вид:
\((1 + x_0)^2 + (5 — y_0)^2 = 25\)
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) и квадрата разности \((a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\):
\(1^2 + 2 \cdot 1 \cdot x_0 + x_0^2 + 5^2 — 2 \cdot 5 \cdot y_0 + y_0^2 = 25\)
\(1 + 2x_0 + x_0^2 + 25 — 10y_0 + y_0^2 = 25\)
Перегруппируем члены, чтобы получить более стандартный вид:
\(x_0^2 + y_0^2 + 2x_0 — 10y_0 + 26 = 25\)
Вычтем \(26\) из обеих частей уравнения:
\(x_0^2 + y_0^2 + 2x_0 — 10y_0 = 25 — 26\)
\(x_0^2 + y_0^2 + 2x_0 — 10y_0 = -1\). Это наше первое уравнение системы.
Аналогично, окружность проходит через точку \(D(6; 4)\). Подставим координаты этой точки в уравнение окружности:
\((6 — x_0)^2 + (4 — y_0)^2 = 25\)
Раскроем скобки:
\(6^2 — 2 \cdot 6 \cdot x_0 + x_0^2 + 4^2 — 2 \cdot 4 \cdot y_0 + y_0^2 = 25\)
\(36 — 12x_0 + x_0^2 + 16 — 8y_0 + y_0^2 = 25\)
Перегруппируем члены:
\(x_0^2 + y_0^2 — 12x_0 — 8y_0 + 52 = 25\)
Вычтем \(52\) из обеих частей уравнения:
\(x_0^2 + y_0^2 — 12x_0 — 8y_0 = 25 — 52\)
\(x_0^2 + y_0^2 — 12x_0 — 8y_0 = -27\). Это наше второе уравнение системы.
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными \(x_0\) и \(y_0\):
1) \(x_0^2 + y_0^2 + 2x_0 — 10y_0 = -1\)
2) \(x_0^2 + y_0^2 — 12x_0 — 8y_0 = -27\)
Для того чтобы упростить систему, вычтем второе уравнение из первого. Это позволит нам избавиться от квадратичных членов \(x_0^2\) и \(y_0^2\):
\((x_0^2 + y_0^2 + 2x_0 — 10y_0) — (x_0^2 + y_0^2 — 12x_0 — 8y_0) = -1 — (-27)\)
Раскроем скобки, меняя знаки у членов второго уравнения:
\(x_0^2 + y_0^2 + 2x_0 — 10y_0 — x_0^2 — y_0^2 + 12x_0 + 8y_0 = -1 + 27\)
Сократим \(x_0^2\) и \(y_0^2\), а затем сгруппируем подобные члены:
\((2x_0 + 12x_0) + (-10y_0 + 8y_0) = 26\)
\(14x_0 — 2y_0 = 26\)
Разделим все члены этого линейного уравнения на \(2\), чтобы упростить его:
\(\frac{14x_0}{2} — \frac{2y_0}{2} = \frac{26}{2}\)
\(7x_0 — y_0 = 13\)
Выразим \(y_0\) через \(x_0\):
\(y_0 = 7x_0 — 13\). Это наше вспомогательное уравнение.
Теперь подставим выражение для \(y_0\) (\(7x_0 — 13\)) в одно из исходных уравнений, например, во второе уравнение \((6 — x_0)^2 + (4 — y_0)^2 = 25\). Это позволит нам получить уравнение только с одной переменной \(x_0\).
\((6 — x_0)^2 + (4 — (7x_0 — 13))^2 = 25\)
Сначала упростим выражение во второй скобке:
\(4 — 7x_0 + 13 = 17 — 7x_0\)
Теперь подставим это обратно:
\((6 — x_0)^2 + (17 — 7x_0)^2 = 25\)
Для удобства вычислений, \((6 — x_0)^2\) можно записать как \((x_0 — 6)^2\), а \((17 — 7x_0)^2\) как \((7x_0 — 17)^2\). Это не меняет значения, так как квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного.
\((x_0 — 6)^2 + (7x_0 — 17)^2 = 25\)
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
\((x_0^2 — 2 \cdot x_0 \cdot 6 + 6^2) + ((7x_0)^2 — 2 \cdot 7x_0 \cdot 17 + 17^2) = 25\)
\(x_0^2 — 12x_0 + 36 + 49x_0^2 — 238x_0 + 289 = 25\)
Сгруппируем подобные члены:
\((x_0^2 + 49x_0^2) + (-12x_0 — 238x_0) + (36 + 289) = 25\)
\(50x_0^2 — 250x_0 + 325 = 25\)
Перенесем \(25\) из правой части в левую, чтобы получить стандартное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\):
\(50x_0^2 — 250x_0 + 325 — 25 = 0\)
\(50x_0^2 — 250x_0 + 300 = 0\)
Разделим все члены уравнения на \(50\), чтобы упростить его:
\(\frac{50x_0^2}{50} — \frac{250x_0}{50} + \frac{300}{50} = \frac{0}{50}\)
\(x_0^2 — 5x_0 + 6 = 0\)
Это квадратное уравнение. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(D = b^2 — 4ac\).
В нашем уравнении \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\).
Вычислим дискриминант \(D\):
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\)
Теперь найдем значения \(x_0\):
\(x_{0_1} = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
\(x_{0_2} = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
Мы получили два возможных значения для \(x_0\).
Теперь, для каждого найденного значения \(x_0\), мы должны найти соответствующее значение \(y_0\), используя наше вспомогательное уравнение \(y_0 = 7x_0 — 13\).
Случай 1: Если \(x_0 = 2\)
\(y_0 = 7(2) — 13 = 14 — 13 = 1\)
Таким образом, первый возможный центр окружности — это точка \((2, 1)\).
Случай 2: Если \(x_0 = 3\)
\(y_0 = 7(3) — 13 = 21 — 13 = 8\)
Таким образом, второй возможный центр окружности — это точка \((3, 8)\).
Мы нашли два возможных центра окружности. Поскольку радиус \(R = 5\) для обеих окружностей, мы можем записать их уравнения.
Для центра \((2, 1)\) и радиуса \(R = 5\):
\((x — 2)^2 + (y — 1)^2 = 5^2\)
\((x — 2)^2 + (y — 1)^2 = 25\)
Для центра \((3, 8)\) и радиуса \(R = 5\):
\((x — 3)^2 + (y — 8)^2 = 5^2\)
\((x — 3)^2 + (y — 8)^2 = 25\)
