Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 349 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Составьте уравнение окружности, радиус которой равен \(\sqrt{10}\), проходящей через точки М (-2; 1) и К (-4; -1).
Даны радиус окружности \(R = \sqrt{10}\), точки \(M(-2; 1)\) и \(K(-4; -1)\).
Уравнение окружности имеет вид \((x — a)^2 + (y — b)^2 = R^2\), где \((a, b)\) — центр окружности. Поскольку \(R = \sqrt{10}\), то \(R^2 = 10\).
1) Для первой точки \(M(-2; 1)\):
Подставляем координаты точки \(M\) в уравнение окружности: \((-2 — a)^2 + (1 — b)^2 = 10\).
Раскрываем скобки: \((a + 2)^2 + (b — 1)^2 = 10\).
Получаем: \(a^2 + 4a + 4 + b^2 — 2b + 1 = 10\).
Упрощаем: \(a^2 + b^2 + 4a — 2b = 5\).
2) Для второй точки \(K(-4; -1)\):
Подставляем координаты точки \(K\) в уравнение окружности: \((-4 — a)^2 + (-1 — b)^2 = 10\).
Раскрываем скобки: \((a + 4)^2 + (b + 1)^2 = 10\).
Получаем: \(a^2 + 8a + 16 + b^2 + 2b + 1 = 10\).
Упрощаем: \(a^2 + b^2 + 8a + 2b = -7\).
3) Вычтем первое уравнение из второго:
\((a^2 + b^2 + 8a + 2b) — (a^2 + b^2 + 4a — 2b) = -7 — 5\).
Получаем: \(4a + 4b = -12\).
Разделим на 4: \(a + b = -3\).
Выражаем \(b\): \(b = -a — 3\).
4) Подставим \(b = -a — 3\) во второе уравнение \((a + 4)^2 + (b + 1)^2 = 10\):
\((a + 4)^2 + ((-a — 3) + 1)^2 = 10\).
\((a + 4)^2 + (-a — 2)^2 = 10\).
Так как \((-a — 2)^2 = (a + 2)^2\), то: \((a + 4)^2 + (a + 2)^2 = 10\).
Раскрываем скобки: \(a^2 + 8a + 16 + a^2 + 4a + 4 = 10\).
Упрощаем: \(2a^2 + 12a + 20 = 10\).
Переносим 10 в левую часть: \(2a^2 + 12a + 10 = 0\).
Делим на 2: \(a^2 + 6a + 5 = 0\).
Находим значения \(a\) с помощью дискриминанта \(D = B^2 — 4AC\):
\(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\).
Корни \(a\) находятся по формуле \(a = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}\):
\(a_1 = \frac{-6 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 — 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5\).
\(a_2 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\).
Теперь найдем соответствующие значения \(b\) используя \(b = -a — 3\):
Для \(a_1 = -5\): \(b_1 = -(-5) — 3 = 5 — 3 = 2\).
Для \(a_2 = -1\): \(b_2 = -(-1) — 3 = 1 — 3 = -2\).
Таким образом, получаем два возможных центра окружности: \((-5, 2)\) и \((-1, -2)\).
Ответ:
\((x + 5)^2 + (y — 2)^2 = 10\)
\((x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 10\)
Общее уравнение окружности с центром в точке \((a, b)\) и радиусом \(R\) имеет вид \((x — a)^2 + (y — b)^2 = R^2\). В данной задаче нам известно, что радиус окружности \(R = \sqrt{10}\). Следовательно, квадрат радиуса составляет \(R^2 = (\sqrt{10})^2 = 10\). Таким образом, уравнение окружности, которое мы ищем, имеет вид \((x — a)^2 + (y — b)^2 = 10\). Наша цель — определить значения координат центра окружности \(a\) и \(b\), используя информацию о двух точках, через которые проходит окружность.
Первая точка, через которую проходит окружность, это \(M(-2; 1)\). Поскольку эта точка лежит на окружности, ее координаты должны удовлетворять уравнению окружности. Подставим \(x = -2\) и \(y = 1\) в уравнение \((x — a)^2 + (y — b)^2 = 10\). Получим: \((-2 — a)^2 + (1 — b)^2 = 10\). Выражение \((-2 — a)^2\) можно переписать как \((-(2 + a))^2\), что равно \((2 + a)^2\) или \((a + 2)^2\). Таким образом, уравнение принимает вид \((a + 2)^2 + (1 — b)^2 = 10\). Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) и квадрата разности \((A — B)^2 = A^2 — 2AB + B^2\): \(a^2 + 4a + 4 + 1 — 2b + b^2 = 10\). Приведем подобные члены и перегруппируем их: \(a^2 + b^2 + 4a — 2b + 5 = 10\). Вычтем 5 из обеих частей уравнения, чтобы получить первое уравнение нашей системы: \(a^2 + b^2 + 4a — 2b = 5\).
Вторая точка, через которую проходит окружность, это \(K(-4; -1)\). Аналогично, подставим координаты этой точки в уравнение окружности: \((-4 — a)^2 + (-1 — b)^2 = 10\). Выражение \((-4 — a)^2\) можно переписать как \((-(4 + a))^2\), что равно \((4 + a)^2\) или \((a + 4)^2\). Выражение \((-1 — b)^2\) можно переписать как \((-(1 + b))^2\), что равно \((1 + b)^2\) или \((b + 1)^2\). Таким образом, уравнение принимает вид \((a + 4)^2 + (b + 1)^2 = 10\). Раскроем скобки: \(a^2 + 8a + 16 + b^2 + 2b + 1 = 10\). Приведем подобные члены и перегруппируем их: \(a^2 + b^2 + 8a + 2b + 17 = 10\). Вычтем 17 из обеих частей уравнения, чтобы получить второе уравнение нашей системы: \(a^2 + b^2 + 8a + 2b = -7\).
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными \(a\) и \(b\):
1) \(a^2 + b^2 + 4a — 2b = 5\)
2) \(a^2 + b^2 + 8a + 2b = -7\)
Чтобы решить эту систему, вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить квадратичные члены \(a^2\) и \(b^2\):
\((a^2 + b^2 + 8a + 2b) — (a^2 + b^2 + 4a — 2b) = -7 — 5\).
Раскрывая скобки и меняя знаки у вычитаемых членов, получаем: \(a^2 + b^2 + 8a + 2b — a^2 — b^2 — 4a + 2b = -12\).
Сокращая \(a^2\) и \(b^2\), а также приводя подобные члены \((8a — 4a)\) и \((2b + 2b)\), получаем линейное уравнение: \(4a + 4b = -12\).
Разделим обе части этого уравнения на 4: \(a + b = -3\).
Из этого уравнения выразим \(b\) через \(a\): \(b = -a — 3\). Это соотношение будет использовано для нахождения конкретных значений \(a\) и \(b\).
Подставим полученное выражение для \(b\) (то есть \(b = -a — 3\)) в одно из исходных уравнений, например, в уравнение \((a + 4)^2 + (b + 1)^2 = 10\).
Заменим \(b\) на \(-a — 3\): \((a + 4)^2 + ((-a — 3) + 1)^2 = 10\).
Упростим выражение во вторых скобках: \((-a — 3 + 1) = (-a — 2)\).
Таким образом, уравнение принимает вид: \((a + 4)^2 + (-a — 2)^2 = 10\).
Заметим, что \((-a — 2)^2\) равно \((-(a + 2))^2\), что эквивалентно \((a + 2)^2\).
Следовательно, уравнение становится: \((a + 4)^2 + (a + 2)^2 = 10\).
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: \((a^2 + 8a + 16) + (a^2 + 4a + 4) = 10\).
Приведем подобные члены: \(2a^2 + 12a + 20 = 10\).
Перенесем 10 из правой части в левую, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения: \(2a^2 + 12a + 20 — 10 = 0\), что дает \(2a^2 + 12a + 10 = 0\).
Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения: \(a^2 + 6a + 5 = 0\).
Теперь нам необходимо решить это квадратное уравнение относительно \(a\). Используем формулу для корней квадратного уравнения \(a = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}\), где \(D = B^2 — 4AC\) — дискриминант. В уравнении \(a^2 + 6a + 5 = 0\), коэффициенты таковы: \(A = 1\), \(B = 6\), \(C = 5\).
Вычислим дискриминант: \(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\).
Поскольку дискриминант положителен, существует два различных действительных корня для \(a\).
Найдем эти корни:
\(a_1 = \frac{-6 — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 — 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5\).
\(a_2 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\).
Теперь, имея два возможных значения для \(a\), мы можем найти соответствующие значения для \(b\), используя ранее полученное соотношение \(b = -a — 3\).
Случай 1: Когда \(a = -5\).
Подставим \(a = -5\) в формулу для \(b\): \(b = -(-5) — 3 = 5 — 3 = 2\).
Таким образом, первый возможный центр окружности имеет координаты \((-5, 2)\).
Подставим эти значения \(a = -5\) и \(b = 2\) в общее уравнение окружности \((x — a)^2 + (y — b)^2 = 10\):
\((x — (-5))^2 + (y — 2)^2 = 10\).
Это дает первое уравнение окружности: \((x + 5)^2 + (y — 2)^2 = 10\).
Случай 2: Когда \(a = -1\).
Подставим \(a = -1\) в формулу для \(b\): \(b = -(-1) — 3 = 1 — 3 = -2\).
Таким образом, второй возможный центр окружности имеет координаты \((-1, -2)\).
Подставим эти значения \(a = -1\) и \(b = -2\) в общее уравнение окружности \((x — a)^2 + (y — b)^2 = 10\):
\((x — (-1))^2 + (y — (-2))^2 = 10\).
Это дает второе уравнение окружности: \((x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 10\).
\((x + 5)^2 + (y — 2)^2 = 10\)
\((x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 10\)
