ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 350 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение окружности, касающейся координатных осей и прямой \(y = -4\).

\(R = \frac{|-4 — 0|}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

\(y_0 = 0 — 2 = -2\)

\(x_0 = 0 \pm 2 = \pm 2\)

\((x — 2)^2 + (y + 2)^2 = 4\)
\((x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 4\)

Пусть центр окружности имеет координаты \((x_0, y_0)\), а ее радиус равен \(R\).

По условию, окружность касается обеих координатных осей. Это означает, что расстояние от центра окружности до оси X равно ее радиусу, то есть \(|y_0| = R\). Аналогично, расстояние от центра окружности до оси Y равно ее радиусу, то есть \(|x_0| = R\). Из этих двух условий следует, что \(|x_0| = |y_0| = R\).

Также по условию, окружность касается прямой \(y = -4\). Расстояние от центра окружности \((x_0, y_0)\) до горизонтальной прямой \(y = c\) определяется как \(|y_0 — c|\). В нашем случае, \(c = -4\), поэтому расстояние от центра до прямой \(y = -4\) равно \(|y_0 — (-4)| = |y_0 + 4|\). Поскольку окружность касается этой прямой, это расстояние также равно радиусу \(R\). Таким образом, мы имеем \(|y_0 + 4| = R\).

Теперь у нас есть два выражения для радиуса \(R\):
\(R = |y_0|\)
\(R = |y_0 + 4|\)

Приравнивая эти два выражения, получаем уравнение:
\(|y_0| = |y_0 + 4|\)

Для решения этого уравнения рассмотрим два случая:

Случай 1: \(y_0 = y_0 + 4\)
Вычитая \(y_0\) из обеих частей уравнения, получаем \(0 = 4\). Это равенство является ложным, что означает, что в этом случае решений нет.

Случай 2: \(y_0 = -(y_0 + 4)\)
Раскрываем скобки: \(y_0 = -y_0 — 4\).
Прибавляем \(y_0\) к обеим частям уравнения: \(2y_0 = -4\).
Делим обе части на 2: \(y_0 = -2\).

Теперь, когда мы нашли значение \(y_0\), мы можем найти радиус \(R\), используя любое из выражений для \(R\). Используем \(R = |y_0|\):
\(R = |-2| = 2\).
Для проверки, используем второе выражение: \(R = |y_0 + 4| = |-2 + 4| = |2| = 2\). Оба выражения дают одинаковый радиус, что подтверждает наши расчеты.

Теперь нам нужно найти значение \(x_0\). Мы знаем, что \(|x_0| = R\). Поскольку \(R = 2\), то \(|x_0| = 2\). Это означает, что \(x_0\) может быть либо \(2\), либо \(-2\).

Таким образом, у нас есть два возможных центра окружности: \((2, -2)\) и \((-2, -2)\). Радиус обеих окружностей равен \(2\).

Общее уравнение окружности с центром \((x_0, y_0)\) и радиусом \(R\) имеет вид \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = R^2\).

Для первого случая, когда центр \((2, -2)\):
Подставляем \(x_0 = 2\), \(y_0 = -2\) и \(R = 2\) в общее уравнение:
\((x — 2)^2 + (y — (-2))^2 = 2^2\)
\((x — 2)^2 + (y + 2)^2 = 4\)

Для второго случая, когда центр \((-2, -2)\):
Подставляем \(x_0 = -2\), \(y_0 = -2\) и \(R = 2\) в общее уравнение:
\((x — (-2))^2 + (y — (-2))^2 = 2^2\)
\((x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 4\)

Таким образом, существуют две такие окружности, удовлетворяющие всем заданным условиям.

\((x — 2)^2 + (y + 2)^2 = 4\)
\((x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 4\)