ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 351 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение окружности, касающейся координатных осей и прямой \(x = 2\).

\(R = \frac{|2 — 0|}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

\(x_0 = 0 + 1 = 1\)

\(y_0 = 0 \pm 1 = \pm 1\)

Ответ: \((x — 1)^2 + (y — 1)^2 = 1\)
\((x — 1)^2 + (y + 1)^2 = 1\)

Пусть центр окружности имеет координаты \((x_0, y_0)\), а ее радиус равен \(R\).

Поскольку окружность касается обеих координатных осей (оси X и оси Y), расстояние от центра окружности до каждой из этих осей должно быть равно радиусу \(R\).
Расстояние от точки \((x_0, y_0)\) до оси X (которая является прямой \(y = 0\)) равно \(|y_0|\). Следовательно, \(|y_0| = R\).
Расстояние от точки \((x_0, y_0)\) до оси Y (которая является прямой \(x = 0\)) равно \(|x_0|\). Следовательно, \(|x_0| = R\).
Из этих двух условий следует, что \(|x_0| = |y_0| = R\). Так как радиус \(R\) всегда положительный, то \(x_0 = \pm R\) и \(y_0 = \pm R\).

Окружность также касается прямой \(x = 2\). Расстояние от центра окружности \((x_0, y_0)\) до вертикальной прямой \(x = 2\) также должно быть равно радиусу \(R\).
Расстояние от точки \((x_0, y_0)\) до прямой \(x = c\) равно \(|x_0 — c|\). В нашем случае \(c = 2\), поэтому \(|x_0 — 2| = R\).

Теперь у нас есть два выражения для радиуса \(R\): \(R = |x_0|\) и \(R = |x_0 — 2|\).
Приравниваем их: \(|x_0| = |x_0 — 2|\).
Это уравнение можно решить, рассмотрев два случая:
Случай 1: \(x_0 = x_0 — 2\). Это приводит к \(0 = -2\), что является невозможным равенством.
Случай 2: \(x_0 = -(x_0 — 2)\). Это приводит к \(x_0 = -x_0 + 2\).
Прибавим \(x_0\) к обеим частям уравнения: \(2x_0 = 2\).
Разделим на 2: \(x_0 = 1\).

Теперь, когда мы нашли \(x_0 = 1\), мы можем найти радиус \(R\), используя условие \(R = |x_0|\).
\(R = |1|\), следовательно, \(R = 1\).

Теперь нам нужно найти \(y_0\). Мы знаем, что \(|y_0| = R\), и мы нашли \(R = 1\).
Значит, \(|y_0| = 1\).
Это означает, что \(y_0\) может быть либо \(1\), либо \(-1\).

Таким образом, существуют две возможные точки для центра окружности:
1. \((x_0, y_0) = (1, 1)\)
2. \((x_0, y_0) = (1, -1)\)

Уравнение окружности в общем виде имеет вид \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = R^2\).

Для первого случая, когда центр \((1, 1)\) и радиус \(R = 1\):
\((x — 1)^2 + (y — 1)^2 = 1^2\)
\((x — 1)^2 + (y — 1)^2 = 1\)

Для второго случая, когда центр \((1, -1)\) и радиус \(R = 1\):
\((x — 1)^2 + (y — (-1))^2 = 1^2\)
\((x — 1)^2 + (y + 1)^2 = 1\)

Ответ:
\((x — 1)^2 + (y — 1)^2 = 1\)
\((x — 1)^2 + (y + 1)^2 = 1\)