ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 352 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Составьте уравнение окружности, проходящей через точки:

1) А (-3; 7), В (-8; 2), С (-6; -2);

2) М (-1; 10), N (12; -3), К (4; 9).

Краткий ответ:

1) A(-3; 7), B(-8; 2), C(-6; -2)

Уравнение окружности: \((x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2\).
Система уравнений для \(h\) и \(k\):
\(\begin{cases} (-3-h)^2 + (7-k)^2 = R^2 \\ (-8-h)^2 + (2-k)^2 = R^2 \\ (-6-h)^2 + (-2-k)^2 = R^2 \end{cases}\)
После упрощения и вычитания уравнений получаем:
\(\begin{cases} 10h + 10k + 10 = 0 \\ 4h — 8k + 28 = 0 \end{cases}\)
Что эквивалентно:
\(\begin{cases} h + k = -1 \\ h — 2k = -7 \end{cases}\)
Решая систему, находим \(h = -3\) и \(k = 2\).
Центр окружности: \((-3, 2)\).
Радиус в квадрате \(R^2 = (-3 — (-3))^2 + (7 — 2)^2 = 0^2 + 5^2 = 25\).
Уравнение окружности: \((x + 3)^2 + (y — 2)^2 = 25\).

2) M(-1; 10), N(12; -3), K(4; 9)

Уравнение окружности: \((x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2\).
Система уравнений для \(h\) и \(k\):
\(\begin{cases} (-1-h)^2 + (10-k)^2 = R^2 \\ (12-h)^2 + (-3-k)^2 = R^2 \\ (4-h)^2 + (9-k)^2 = R^2 \end{cases}\)
После упрощения и вычитания уравнений получаем:
\(\begin{cases} -26h + 26k + 52 = 0 \\ -16h + 24k + 56 = 0 \end{cases}\)
Что эквивалентно:
\(\begin{cases} -h + k = -2 \\ -2h + 3k = -7 \end{cases}\)
Решая систему, находим \(h = -1\) и \(k = -3\).
Центр окружности: \((-1, -3)\).
Радиус в квадрате \(R^2 = (-1 — (-1))^2 + (10 — (-3))^2 = 0^2 + 13^2 = 169\).
Уравнение окружности: \((x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 169\).

Подробный ответ:

1) Точки: А (-3; 7), В (-8; 2), С (-6; -2)

Общее уравнение окружности имеет вид \((x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2\), где \((h, k)\) — это координаты центра окружности, а \(R\) — ее радиус.

Подставим координаты каждой из данных точек в это общее уравнение:
Для точки А(-3; 7):
\((-3-h)^2 + (7-k)^2 = R^2\)
Раскроем скобки:
\((-3)^2 — 2(-3)h + h^2 + (7)^2 — 2(7)k + k^2 = R^2\)
\(9 + 6h + h^2 + 49 — 14k + k^2 = R^2\)
\(h^2 + k^2 + 6h — 14k + 58 = R^2\) (Уравнение 1)

Для точки В(-8; 2):
\((-8-h)^2 + (2-k)^2 = R^2\)
Раскроем скобки:
\((-8)^2 — 2(-8)h + h^2 + (2)^2 — 2(2)k + k^2 = R^2\)
\(64 + 16h + h^2 + 4 — 4k + k^2 = R^2\)
\(h^2 + k^2 + 16h — 4k + 68 = R^2\) (Уравнение 2)

Для точки С(-6; -2):
\((-6-h)^2 + (-2-k)^2 = R^2\)
Раскроем скобки:
\((-6)^2 — 2(-6)h + h^2 + (-2)^2 — 2(-2)k + k^2 = R^2\)
\(36 + 12h + h^2 + 4 + 4k + k^2 = R^2\)
\(h^2 + k^2 + 12h + 4k + 40 = R^2\) (Уравнение 3)

Теперь вычтем уравнения друг из друга, чтобы исключить \(R^2\), \(h^2\) и \(k^2\).
Вычтем Уравнение 1 из Уравнения 2:
\((h^2 + k^2 + 16h — 4k + 68) — (h^2 + k^2 + 6h — 14k + 58) = R^2 — R^2\)
\(h^2 + k^2 + 16h — 4k + 68 — h^2 — k^2 — 6h + 14k — 58 = 0\)
\(10h + 10k + 10 = 0\)
Разделим все члены на 10:
\(h + k + 1 = 0\)
\(h + k = -1\) (Уравнение 4)

Вычтем Уравнение 3 из Уравнения 2:
\((h^2 + k^2 + 16h — 4k + 68) — (h^2 + k^2 + 12h + 4k + 40) = R^2 — R^2\)
\(h^2 + k^2 + 16h — 4k + 68 — h^2 — k^2 — 12h — 4k — 40 = 0\)
\(4h — 8k + 28 = 0\)
Разделим все члены на 4:
\(h — 2k + 7 = 0\)
\(h — 2k = -7\) (Уравнение 5)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными \(h\) и \(k\):
\(\begin{cases} h + k = -1 \\ h — 2k = -7 \end{cases}\)
Из Уравнения 4 выразим \(h\): \(h = -1 — k\).
Подставим это выражение для \(h\) в Уравнение 5:
\((-1 — k) — 2k = -7\)
\(-1 — 3k = -7\)
\(-3k = -7 + 1\)
\(-3k = -6\)
\(k = \frac{-6}{-3}\)
\(k = 2\)

Теперь найдем \(h\), подставив значение \(k\) в Уравнение 4:
\(h + 2 = -1\)
\(h = -1 — 2\)
\(h = -3\)
Таким образом, центр окружности имеет координаты \((-3, 2)\).

Теперь найдем радиус в квадрате \(R^2\), подставив координаты центра \((-3, 2)\) и координаты одной из исходных точек (например, А(-3; 7)) в общее уравнение окружности:
\(R^2 = (-3 — (-3))^2 + (7 — 2)^2\)
\(R^2 = (-3 + 3)^2 + (5)^2\)
\(R^2 = (0)^2 + 25\)
\(R^2 = 25\)

Окончательное уравнение окружности:
\((x — (-3))^2 + (y — 2)^2 = 25\)
\((x + 3)^2 + (y — 2)^2 = 25\)

2) Точки: М (-1; 10), N (12; -3), К (4; 9)

Общее уравнение окружности имеет вид \((x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2\).

Подставим координаты каждой из данных точек в это общее уравнение:
Для точки М(-1; 10):
\((-1-h)^2 + (10-k)^2 = R^2\)
Раскроем скобки:
\((-1)^2 — 2(-1)h + h^2 + (10)^2 — 2(10)k + k^2 = R^2\)
\(1 + 2h + h^2 + 100 — 20k + k^2 = R^2\)
\(h^2 + k^2 + 2h — 20k + 101 = R^2\) (Уравнение M)

Для точки N(12; -3):
\((12-h)^2 + (-3-k)^2 = R^2\)
Раскроем скобки:
\((12)^2 — 2(12)h + h^2 + (-3)^2 — 2(-3)k + k^2 = R^2\)
\(144 — 24h + h^2 + 9 + 6k + k^2 = R^2\)
\(h^2 + k^2 — 24h + 6k + 153 = R^2\) (Уравнение N)

Для точки К(4; 9):
\((4-h)^2 + (9-k)^2 = R^2\)
Раскроем скобки:
\((4)^2 — 2(4)h + h^2 + (9)^2 — 2(9)k + k^2 = R^2\)
\(16 — 8h + h^2 + 81 — 18k + k^2 = R^2\)
\(h^2 + k^2 — 8h — 18k + 97 = R^2\) (Уравнение K)

Теперь вычтем уравнения друг из друга, чтобы исключить \(R^2\), \(h^2\) и \(k^2\).
Вычтем Уравнение M из Уравнения N:
\((h^2 + k^2 — 24h + 6k + 153) — (h^2 + k^2 + 2h — 20k + 101) = R^2 — R^2\)
\(h^2 + k^2 — 24h + 6k + 153 — h^2 — k^2 — 2h + 20k — 101 = 0\)
\(-26h + 26k + 52 = 0\)
Разделим все члены на 26:
\(-h + k + 2 = 0\)
\(k — h = -2\) (Уравнение 4′)

Вычтем Уравнение K из Уравнения N:
\((h^2 + k^2 — 24h + 6k + 153) — (h^2 + k^2 — 8h — 18k + 97) = R^2 — R^2\)
\(h^2 + k^2 — 24h + 6k + 153 — h^2 — k^2 + 8h + 18k — 97 = 0\)
\(-16h + 24k + 56 = 0\)
Разделим все члены на 8:
\(-2h + 3k + 7 = 0\)
\(-2h + 3k = -7\) (Уравнение 5′)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными \(h\) и \(k\):
\(\begin{cases} k — h = -2 \\ -2h + 3k = -7 \end{cases}\)
Из Уравнения 4′ выразим \(k\): \(k = h — 2\).
Подставим это выражение для \(k\) в Уравнение 5′:
\(-2h + 3(h — 2) = -7\)
\(-2h + 3h — 6 = -7\)
\(h — 6 = -7\)
\(h = -7 + 6\)
\(h = -1\)

Теперь найдем \(k\), подставив значение \(h\) в Уравнение 4′:
\(k — (-1) = -2\)
\(k + 1 = -2\)
\(k = -2 — 1\)
\(k = -3\)
Таким образом, центр окружности имеет координаты \((-1, -3)\).

Теперь найдем радиус в квадрате \(R^2\), подставив координаты центра \((-1, -3)\) и координаты одной из исходных точек (например, М(-1; 10)) в общее уравнение окружности:
\(R^2 = (-1 — (-1))^2 + (10 — (-3))^2\)
\(R^2 = (-1 + 1)^2 + (10 + 3)^2\)
\(R^2 = (0)^2 + (13)^2\)
\(R^2 = 0 + 169\)
\(R^2 = 169\)

Окончательное уравнение окружности:
\((x — (-1))^2 + (y — (-3))^2 = 169\)
\((x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 169\)

Оцени решение