Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 353 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Биссектриса угла В параллелограмма ABCD пересекает его сторону AD в точке Е, АВ = ВЕ = 12 см, ED = 18 см. Найдите площадь параллелограмма.
Поскольку \(ABCD\) — параллелограмм, \(AD \parallel BC\). \(BE\) — секущая, поэтому \(\angle CBE = \angle AEB\) (накрест лежащие углы). Так как \(BE\) — биссектриса \(\angle B\), то \(\angle CBE = \angle ABE\). Из этого следует, что \(\angle AEB = \angle ABE\), значит, треугольник \(ABE\) — равнобедренный с \(AB = AE\). По условию \(AB = BE = 12\) см. Так как \(AB = AE\), то \(AB = BE = AE = 12\) см. Следовательно, треугольник \(ABE\) — равносторонний. В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^\circ\), поэтому \(\angle A = 60^\circ\). Сторона \(AD = AE + ED = 12 + 18 = 30\) см. Площадь параллелограмма \(S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A) = 12 \cdot 30 \cdot \sin(60^\circ)\). \(S_{ABCD} = 360 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 180\sqrt{3}\) см\(^2\).
Поскольку \(ABCD\) является параллелограммом, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона \(AD\) параллельна стороне \(BC\).
Прямая \(BE\) является секущей, пересекающей параллельные прямые \(AD\) и \(BC\). При пересечении параллельных прямых секущей образуются накрест лежащие углы, которые равны. Следовательно, угол \(\angle AEB\) равен углу \(\angle CBE\).
По условию задачи, \(BE\) является биссектрисой угла \(\angle B\). Это означает, что она делит угол \(\angle B\) на два равных угла: \(\angle CBE\) и \(\angle ABE\). Таким образом, \(\angle CBE = \angle ABE\).
Из двух равенств, \(\angle AEB = \angle CBE\) и \(\angle CBE = \angle ABE\), следует, что \(\angle AEB = \angle ABE\).
Рассмотрим треугольник \(ABE\). В этом треугольнике углы \(\angle AEB\) и \(\angle ABE\) равны. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным, и стороны, лежащие напротив этих углов, также равны. В данном случае, сторона \(AB\) лежит напротив угла \(\angle AEB\), а сторона \(AE\) лежит напротив угла \(\angle ABE\). Следовательно, \(AB = AE\).
По условию задачи, длина отрезка \(AB\) равна \(12\) см, и длина отрезка \(BE\) также равна \(12\) см. Поскольку мы установили, что \(AB = AE\), то длина отрезка \(AE\) также равна \(12\) см.
Таким образом, в треугольнике \(ABE\) все три стороны равны: \(AB = BE = AE = 12\) см. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^\circ\). Следовательно, угол \(\angle A\) в параллелограмме \(ABCD\) равен \(60^\circ\).
Теперь найдем длину стороны \(AD\) параллелограмма. Сторона \(AD\) состоит из двух отрезков: \(AE\) и \(ED\). Мы уже знаем, что \(AE = 12\) см, и по условию \(ED = 18\) см.
Следовательно, \(AD = AE + ED = 12 + 18 = 30\) см.
Для вычисления площади параллелограмма \(ABCD\) используем формулу: \(S = \text{сторона}_1 \cdot \text{сторона}_2 \cdot \sin(\text{угол между ними})\).
В нашем случае, мы можем использовать стороны \(AB\) и \(AD\), и угол \(\angle A\) между ними.
\(S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A)\).
Подставим известные значения: \(AB = 12\) см, \(AD = 30\) см, и \(\angle A = 60^\circ\).
\(S_{ABCD} = 12 \cdot 30 \cdot \sin(60^\circ)\).
Вычислим произведение длин сторон: \(12 \cdot 30 = 360\).
Значение синуса \(60^\circ\) равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Подставим это значение в формулу: \(S_{ABCD} = 360 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Выполним умножение: \(S_{ABCD} = \frac{360\sqrt{3}}{2} = 180\sqrt{3}\).
Единица измерения площади — квадратные сантиметры.
Площадь параллелограмма \(ABCD\) составляет \(180\sqrt{3}\) см\(^2\).
