ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 354 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит эту диагональ на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите периметр прямоугольника.
1) Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\Delta ABE\) и \(\Delta ADE\). Угол \(\angle BAE = 90^\circ — \angle ABE\). Угол \(\angle DAE = 90^\circ — \angle BAE = \angle ABE\). Так как \(\angle AEB = \angle AED = 90^\circ\) и \(\angle DAE = \angle ABE\), то \(\Delta ABE \sim \Delta ADE\) по двум углам. Из подобия следует \(\frac{BE}{AE} = \frac{AE}{DE}\), что дает \(AE^2 = BE \cdot DE\). Подставляя значения, получаем \(AE = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12\) см.
2) В прямоугольном треугольнике \(\Delta ABE\) по теореме Пифагора \(AB^2 = BE^2 + AE^2\). Тогда \(AB = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\) см.
3) В прямоугольном треугольнике \(\Delta ADE\) по теореме Пифагора \(AD^2 = AE^2 + DE^2\). Тогда \(AD = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\) см.
4) Периметр прямоугольника ABCD равен \(P_{ABCD} = 2(AB + AD)\). Подставляя значения, получаем \(P_{ABCD} = 2(15 + 20) = 2 \cdot 35 = 70\) см.
Рассмотрим прямоугольник ABCD. Из вершины A опущен перпендикуляр AE на диагональ BD, где точка E лежит на BD. По условию, перпендикуляр делит диагональ на отрезки BE = 9 см и DE = 16 см. Наша задача — найти периметр этого прямоугольника.
Первым шагом является определение длины высоты AE. В прямоугольном треугольнике ABD, где \(\angle BAD = 90^\circ\), AE является высотой, опущенной на гипотенузу BD. Согласно свойству высоты, опущенной на гипотенузу в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть, \(AE^2 = BE \cdot DE\). Подставим известные значения: \(AE^2 = 9 \cdot 16\). Выполняя умножение, получаем \(AE^2 = 144\). Извлекая квадратный корень, находим длину AE: \(AE = \sqrt{144} = 12\) см.
Теперь, зная длину AE, мы можем найти длины сторон прямоугольника AB и AD, используя теорему Пифагора в соответствующих прямоугольных треугольниках. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\Delta ABE\), где \(\angle AEB = 90^\circ\). По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы AB равен сумме квадратов катетов BE и AE: \(AB^2 = BE^2 + AE^2\). Подставим известные значения: \(AB^2 = 9^2 + 12^2\). Вычисляем квадраты: \(AB^2 = 81 + 144\). Суммируем: \(AB^2 = 225\). Извлекая квадратный корень, получаем длину стороны AB: \(AB = \sqrt{225} = 15\) см.
Далее рассмотрим прямоугольный треугольник \(\Delta ADE\), где \(\angle AED = 90^\circ\). По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы AD равен сумме квадратов катетов AE и DE: \(AD^2 = AE^2 + DE^2\). Подставим известные значения: \(AD^2 = 12^2 + 16^2\). Вычисляем квадраты: \(AD^2 = 144 + 256\). Суммируем: \(AD^2 = 400\). Извлекая квадратный корень, получаем длину стороны AD: \(AD = \sqrt{400} = 20\) см.
Наконец, чтобы найти периметр прямоугольника, используем формулу периметра \(P = 2(длина + ширина)\). В нашем случае, длина — это AD, а ширина — это AB. Подставим найденные значения сторон: \(P_{ABCD} = 2(AB + AD)\). \(P_{ABCD} = 2(15 + 20)\). Выполняем сложение в скобках: \(P_{ABCD} = 2(35)\). И, наконец, умножаем: \(P_{ABCD} = 70\) см.
