ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 355 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В равнобокую трапецию вписана окружность радиуса 12 см. Одна из боковых сторон точкой касания делится на два отрезка, один из которых равен 16 см. Найдите площадь трапеции.

Краткий ответ:

Высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности: \(h = 2R = 2 \cdot 12 = 24\) см.
В прямоугольном треугольнике AOB (где O — центр окружности, OE — высота к гипотенузе AB) справедливо соотношение: \(OE^{2} = AE \cdot BE\). Подставляем известные значения: \(12^{2} = 16 \cdot BE\). \(144 = 16 \cdot BE\). Отсюда \(BE = \frac{144}{16} = 9\) см.
Длина боковой стороны \(AB = AE + BE = 16 + 9 = 25\) см.
Так как трапеция равнобокая и в нее вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон: \(AD + BC = AB + CD = 25 + 25 = 50\) см.
Также, отрезки касательных из одной вершины равны: \(AM = AE = 16\) см, \(BF = BE = 9\) см.
Тогда основания: \(AD = 2 \cdot AM = 2 \cdot 16 = 32\) см.
\(BC = 2 \cdot BF = 2 \cdot 9 = 18\) см.
Площадь трапеции вычисляется по формуле: \(S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h\).
Подставляем значения: \(S = \frac{32 + 18}{2} \cdot 24 = \frac{50}{2} \cdot 24 = 25 \cdot 24 = 600\) см\(^{2}\).
Или, используя формулу для трапеции с вписанной окружностью: \(S = (AD + BC) \cdot R = 50 \cdot 12 = 600\) см\(^{2}\).

Подробный ответ:

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна удвоенному радиусу этой окружности. Таким образом, если радиус \(R = 12\) см, то высота трапеции \(h = 2R = 2 \cdot 12 = 24\) см.

Рассмотрим треугольник AOB, где O — центр вписанной окружности, а E — точка касания окружности со стороной AB. OE является радиусом, проведенным в точку касания, поэтому \(OE \perp AB\), и \(OE = R = 12\) см. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов трапеции. Следовательно, AO является биссектрисой угла DAB, а BO — биссектрисой угла CBA. Поскольку углы DAB и CBA являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых AD и BC и секущей AB, их сумма равна \(180^\circ\). То есть, \(\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ\). В треугольнике AOB сумма углов \(\angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2}\angle DAB + \frac{1}{2}\angle CBA = \frac{1}{2}(\angle DAB + \angle CBA)=\)
\( = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ\). Тогда угол \(\angle AOB = 180^\circ — (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ — 90^\circ = 90^\circ\). Это означает, что треугольник AOB является прямоугольным с прямым углом при вершине O.

В прямоугольном треугольнике AOB, OE является высотой, проведенной к гипотенузе AB. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, проведенной к гипотенузе, квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть, \(OE^{2} = AE \cdot BE\). Нам дано \(AE = 16\) см и \(OE = 12\) см. Подставим эти значения в формулу: \(12^{2} = 16 \cdot BE\). Вычислим квадрат 12: \(144 = 16 \cdot BE\). Чтобы найти длину отрезка BE, разделим 144 на 16: \(BE = \frac{144}{16} = 9\) см.

Теперь, зная длины отрезков AE и BE, мы можем найти длину боковой стороны AB: \(AB = AE + BE = 16 + 9 = 25\) см. Поскольку трапеция ABCD является равнобокой, длина другой боковой стороны CD также равна 25 см.

Для трапеции, в которую можно вписать окружность, существует свойство, что сумма длин противоположных сторон равна. Таким образом, \(AD + BC = AB + CD\). Подставим известные значения: \(AD + BC = 25 + 25 = 50\) см.
Также, отрезки касательных, проведенных из одной вершины к окружности, равны. Пусть точки касания на основаниях AD и BC будут M и F соответственно. Тогда \(AM = AE = 16\) см и \(BF = BE = 9\) см. В равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, точки касания на основаниях являются их серединами. Следовательно, длина основания AD равна \(2 \cdot AM = 2 \cdot 16 = 32\) см. Длина основания BC равна \(2 \cdot BF = 2 \cdot 9 = 18\) см. Проверим сумму оснований: \(32 + 18 = 50\) см, что совпадает с ранее полученным результатом.

Наконец, вычислим площадь трапеции. Формула площади трапеции: \(S = \frac{\text{сумма оснований}}{2} \cdot \text{высота}\). Подставим найденные значения: \(S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{32 + 18}{2} \cdot 24\). Вычислим сумму оснований: \(S = \frac{50}{2} \cdot 24\). Разделим 50 на 2: \(S = 25 \cdot 24\). Произведение 25 и 24 равно 600. Таким образом, площадь трапеции \(S = 600\) см\(^{2}\).
В качестве альтернативы, для трапеции, в которую вписана окружность, площадь также может быть найдена по формуле \(S = (\text{сумма оснований}) \cdot \text{радиус вписанной окружности}\). Используя эту формулу: \(S = (AD + BC) \cdot R = 50 \cdot 12 = 600\) см\(^{2}\). Оба метода дают одинаковый результат.

Оцени решение