ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 36 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В трапеции \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)) известно, что \(BC = 3\) см, \(AD = 10\) см, \(CD = 4\) см, \(\angle D = 60^\circ\). Найдите диагонали трапеции.

Краткий ответ:

Пусть точка \(A\) в начале координат \((0, 0)\), а точка \(D\) на оси \(x\) в точке \((10, 0)\), так как \(AD = 10\) см. Угол при точке \(D\) равен \(60^\circ\), значит точка \(C\) находится на расстоянии 4 см от \(D\) под углом \(60^\circ\). Координаты точки \(C\) найдём так: \(C = (10 + 4 \cdot \cos 60^\circ, 0 + 4 \cdot \sin 60^\circ) = (12, 2\sqrt{3})\).

Так как \(BC\) параллельно \(AD\), то \(B\) и \(C\) лежат на одной линии по высоте, то есть у них одинаковая высота \(2\sqrt{3}\). Длина \(BC = 3\), значит \(B\) находится слева от \(C\) на 3 см: \(B = (12 — 3, 2\sqrt{3}) = (9, 2\sqrt{3})\).

Теперь найдём диагонали. Диагональ \(AC\) — расстояние между \(A(0, 0)\) и \(C(12, 2\sqrt{3})\):

\(AC = \sqrt{(12 — 0)^2 + (2\sqrt{3} — 0)^2} = \sqrt{144 + 4 \cdot 3} = \sqrt{156} = 2 \cdot \sqrt{39}\).

Диагональ \(BD\) — расстояние между \(B(9, 2\sqrt{3})\) и \(D(10, 0)\):

\(BD = \sqrt{(10 — 9)^2 + (0 — 2\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 4 \cdot 3} = \sqrt{13}\).

Ответ: \(AC = 2 \cdot \sqrt{39}\) см, \(BD = \sqrt{13}\) см.

Подробный ответ:

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), у которой основания \(BC\) и \(AD\) параллельны. По условию, длина основания \(BC\) равна 3 см, а длина основания \(AD\) равна 10 см. Также известно, что сторона \(CD\) равна 4 см, и угол при вершине \(D\) равен \(60^\circ\). Для удобства решения расположим трапецию на координатной плоскости так, чтобы основание \(AD\) лежало на оси \(x\). Пусть точка \(A\) находится в начале координат, то есть в точке \((0, 0)\). Тогда точка \(D\), учитывая длину основания \(AD = 10\) см, будет иметь координаты \((10, 0)\). Такое расположение упрощает вычисления, поскольку ось \(x\) совпадает с основанием \(AD\), а точки \(A\) и \(D\) лежат на одной горизонтальной линии.

Далее определим координаты точки \(C\). Из условия известно, что длина стороны \(CD = 4\) см, а угол при вершине \(D\) равен \(60^\circ\). Это означает, что вектор \(DC\) образует угол \(60^\circ\) с осью \(x\). Чтобы найти координаты точки \(C\), прибавим к координатам точки \(D\) вектор длины 4 см, направленный под углом \(60^\circ\). Тогда координаты точки \(C\) будут равны \( (10 + 4 \cdot \cos 60^\circ, 0 + 4 \cdot \sin 60^\circ) \). Подставляя значения косинуса и синуса, получаем \( (10 + 4 \cdot \frac{1}{2}, 0 + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = (12, 2\sqrt{3}) \).

Теперь найдём координаты точки \(B\). Поскольку \(BC\) параллельно \(AD\), это означает, что \(B\) и \(C\) лежат на одной горизонтальной линии, то есть у них одинаковая ордината. Следовательно, \(B = (x_B, 2\sqrt{3})\). Из условия длина \(BC = 3\) см, а координаты \(C\) известны: \(C = (12, 2\sqrt{3})\). Расстояние между точками \(B\) и \(C\) по оси \(x\) равно 3, значит \(x_B = 12 — 3 = 9\). Таким образом, \(B = (9, 2\sqrt{3})\).

Теперь можно вычислить длины диагоналей \(AC\) и \(BD\). Диагональ \(AC\) — расстояние между точками \(A(0, 0)\) и \(C(12, 2\sqrt{3})\):

\( AC = \sqrt{(12 — 0)^2 + (2\sqrt{3} — 0)^2} = \sqrt{12^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 4 \cdot 3} = \)
\(=\sqrt{144 + 12} = \sqrt{156} = 2 \cdot \sqrt{39} \).

Диагональ \(BD\) — расстояние между точками \(B(9, 2\sqrt{3})\) и \(D(10, 0)\):

\( BD = \sqrt{(10 — 9)^2 + (0 — 2\sqrt{3})^2} = \sqrt{1^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 4 \cdot 3}=\)
\(= \sqrt{1 + 12} = \sqrt{13} \).

Таким образом, длины диагоналей трапеции равны \(AC = 2 \cdot \sqrt{39}\) см и \(BD = \sqrt{13}\) см.

Оцени решение