ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 363 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:
1) А (2; -5) и В (-3; 10); 2) С (6; -1) и D (24; 2).

1) Уравнение прямой \(y = kx + p\).
Для точки А(2; -5): \(-5 = 2k + p \Rightarrow p = -2k — 5\).
Для точки В(-3; 10): \(10 = -3k + p\).
Подставим \(p\): \(10 = -3k + (-2k — 5)\).
\(10 = -5k — 5\).
\(15 = -5k\).
\(k = \frac{15}{-5} = -3\).
Найдем \(p\): \(p = -2(-3) — 5 = 6 — 5 = 1\).
Уравнение прямой: \(y = -3x + 1\).

2) Уравнение прямой \(y = kx + p\).
Для точки С(6; -1): \(-1 = 6k + p \Rightarrow p = -6k — 1\).
Для точки D(24; 2): \(2 = 24k + p\).
Подставим \(p\): \(2 = 24k + (-6k — 1)\).
\(2 = 18k — 1\).
\(3 = 18k\).
\(k = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}\).
Найдем \(p\): \(p = -6 \cdot \frac{1}{6} — 1 = -1 — 1 = -2\).
Уравнение прямой: \(y = \frac{1}{6}x — 2\).
Умножим на 6: \(6y = x — 12\).
Перенесем члены: \(x — 6y = 12\).

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки, мы используем общее уравнение прямой \(y = kx + p\), где \(k\) представляет собой угловой коэффициент, а \(p\) — свободный член. Подставляя координаты каждой из двух точек в это уравнение, мы получаем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными \(k\) и \(p\), которую затем решаем.

Рассмотрим первую пару точек: А (2; -5) и В (-3; 10).

Сначала мы подставим координаты точки А (2; -5) в уравнение прямой \(y = kx + p\). Это дает нам первое уравнение: \(-5 = k \cdot 2 + p\).

Далее мы подставим координаты точки В (-3; 10) в то же уравнение прямой \(y = kx + p\). Это дает нам второе уравнение: \(10 = k \cdot (-3) + p\).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) \(-5 = 2k + p\)
2) \(10 = -3k + p\)

Из первого уравнения выразим \(p\). Для этого перенесем член \(2k\) в левую часть уравнения: \(p = -2k — 5\).

Затем подставим это выражение для \(p\) во второе уравнение: \(10 = -3k + (-2k — 5)\).

Упростим полученное уравнение, раскрыв скобки: \(10 = -3k — 2k — 5\).

Объединим подобные члены с \(k\): \(10 = -5k — 5\).

Перенесем постоянный член \(-5\) в левую часть уравнения, изменив его знак: \(10 + 5 = -5k\).

Выполним сложение: \(15 = -5k\).

Теперь найдем значение \(k\), разделив обе части уравнения на \(-5\): \(k = \frac{15}{-5}\).

В результате получаем \(k = -3\).

Теперь, когда мы знаем значение \(k\), подставим его обратно в выражение для \(p\): \(p = -2k — 5\).

Подставим \(k = -3\): \(p = -2(-3) — 5\).

Выполним умножение и вычитание: \(p = 6 — 5\).

Таким образом, \(p = 1\).

Используя найденные значения \(k = -3\) и \(p = 1\), запишем окончательное уравнение прямой в виде \(y = kx + p\): \(y = -3x + 1\).

Рассмотрим вторую пару точек: С (6; -1) и D (24; 2).

Сначала мы подставим координаты точки С (6; -1) в уравнение прямой \(y = kx + p\). Это дает нам первое уравнение: \(-1 = k \cdot 6 + p\).

Далее мы подставим координаты точки D (24; 2) в то же уравнение прямой \(y = kx + p\). Это дает нам второе уравнение: \(2 = k \cdot 24 + p\).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) \(-1 = 6k + p\)
2) \(2 = 24k + p\)

Из первого уравнения выразим \(p\). Для этого перенесем член \(6k\) в левую часть уравнения: \(p = -6k — 1\).

Затем подставим это выражение для \(p\) во второе уравнение: \(2 = 24k + (-6k — 1)\).

Упростим полученное уравнение, раскрыв скобки: \(2 = 24k — 6k — 1\).

Объединим подобные члены с \(k\): \(2 = 18k — 1\).

Перенесем постоянный член \(-1\) в левую часть уравнения, изменив его знак: \(2 + 1 = 18k\).

Выполним сложение: \(3 = 18k\).

Теперь найдем значение \(k\), разделив обе части уравнения на \(18\): \(k = \frac{3}{18}\).

Сократим дробь: \(k = \frac{1}{6}\).

Теперь, когда мы знаем значение \(k\), подставим его обратно в выражение для \(p\): \(p = -6k — 1\).

Подставим \(k = \frac{1}{6}\): \(p = -6 \cdot \frac{1}{6} — 1\).

Выполним умножение и вычитание: \(p = -1 — 1\).

Таким образом, \(p = -2\).

Используя найденные значения \(k = \frac{1}{6}\) и \(p = -2\), запишем окончательное уравнение прямой в виде \(y = kx + p\): \(y = \frac{1}{6}x — 2\).

Для того чтобы избавиться от дроби в уравнении, умножим обе части уравнения на \(6\): \(6y = 6 \left(\frac{1}{6}x — 2\right)\).

Выполним умножение: \(6y = x — 12\).

Для приведения к стандартному виду уравнения прямой \(Ax + By = C\), перенесем член \(x\) и \(6y\) в одну сторону, а постоянный член в другую: \(x — 6y = 12\).