ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 364 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите координаты точки пересечения прямых:
1) \(y = 3x — 7\) и \(y = 5x + 9\);
2) \(2x — 7y = -16\) и \(6x + 11y = 16\).

Краткий ответ:

1) \(y = 3x — 7\), \(y = 5x + 9\);
\(3x — 7 = 5x + 9\);
\(2x = -16\), \(x = -8\);
\(y = -24 — 7 = -31\);
Ответ: \((-8; -31)\).

2) \(2x — 7y = -16\), \(6x + 11y = 16\);
\(y = \frac{2x + 16}{7} = \frac{16 — 6x}{11}\);
\(11(2x + 16) = 7(16 — 6x)\);
\(22x + 176 = 112 — 42x\);
\(64x = -64\), \(x = -1\);
\(y = \frac{-2 + 16}{7} = \frac{14}{7} = 2\);
Ответ: \((-1; 2)\).

Подробный ответ:

Для нахождения точки пересечения двух прямых необходимо решить систему уравнений, описывающую эти прямые.

Рассмотрим первую пару прямых: \(y = 3x — 7\) и \(y = 5x + 9\).
Поскольку обе функции выражены через \(y\), мы можем приравнять их правые части: \(3x — 7 = 5x + 9\).
Для того чтобы найти значение \(x\), перенесем все члены, содержащие \(x\), в одну сторону уравнения, а постоянные члены — в другую. Вычтем \(3x\) из обеих частей уравнения: \(-7 = 5x — 3x + 9\), что упрощается до \(-7 = 2x + 9\).
Теперь вычтем \(9\) из обеих частей уравнения: \(-7 — 9 = 2x\), что дает \(-16 = 2x\).
Разделим обе части уравнения на \(2\), чтобы найти \(x\): \(x = \frac{-16}{2}\), следовательно, \(x = -8\).
Теперь, когда мы знаем значение \(x\), подставим его в одно из исходных уравнений для нахождения \(y\). Используем первое уравнение: \(y = 3x — 7\).
Подставляем \(x = -8\): \(y = 3(-8) — 7\).
Выполняем умножение: \(y = -24 — 7\).
Вычисляем значение \(y\): \(y = -31\).
Таким образом, точка пересечения первой пары прямых имеет координаты \((-8; -31)\).

Рассмотрим вторую пару прямых: \(2x — 7y = -16\) и \(6x + 11y = 16\).
Для решения этой системы уравнений методом подстановки, выразим \(y\) из первого уравнения.
Начнем с \(2x — 7y = -16\). Вычтем \(2x\) из обеих частей: \(-7y = -16 — 2x\).
Умножим обе части на \(-1\) для удобства: \(7y = 16 + 2x\).
Разделим обе части на \(7\): \(y = \frac{16 + 2x}{7}\). Это наше первое выражение для \(y\).
Теперь выразим \(y\) из второго уравнения: \(6x + 11y = 16\).
Вычтем \(6x\) из обеих частей: \(11y = 16 — 6x\).
Разделим обе части на \(11\): \(y = \frac{16 — 6x}{11}\). Это наше второе выражение для \(y\).
Приравняем два выражения для \(y\): \(\frac{16 + 2x}{7} = \frac{16 — 6x}{11}\).
Для устранения знаменателей умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное \(7\) и \(11\), то есть на \(77\). Это эквивалентно умножению левой части на \(11\) и правой части на \(7\): \(11(16 + 2x) = 7(16 — 6x)\).
Раскроем скобки в обеих частях уравнения: \(11 \cdot 16 + 11 \cdot 2x = 7 \cdot 16 — 7 \cdot 6x\), что дает \(176 + 22x = 112 — 42x\).
Перенесем все члены, содержащие \(x\), в левую часть, а постоянные члены — в правую. Прибавим \(42x\) к обеим частям: \(176 + 22x + 42x = 112\), что упрощается до \(176 + 64x = 112\).
Вычтем \(176\) из обеих частей: \(64x = 112 — 176\).
Выполним вычитание: \(64x = -64\).
Разделим обе части на \(64\): \(x = \frac{-64}{64}\), следовательно, \(x = -1\).
Теперь подставим найденное значение \(x = -1\) в одно из выражений для \(y\). Используем \(y = \frac{16 + 2x}{7}\).
Подставляем \(x = -1\): \(y = \frac{16 + 2(-1)}{7}\).
Выполняем умножение: \(y = \frac{16 — 2}{7}\).
Вычисляем числитель: \(y = \frac{14}{7}\).
Вычисляем значение \(y\): \(y = 2\).
Таким образом, точка пересечения второй пары прямых имеет координаты \((-1; 2)\).

Оцени решение