ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 365 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите координаты точки пересечения прямых:
1) \(y = -4x + 1\) и \(y = 2x — 11\);
2) \(3x + 2y = 10\) и \(x — 8y = 12\).
1) Приравняем правые части уравнений: \(-4x + 1 = 2x — 11\). Перенесем \(x\) в одну сторону, числа в другую: \(1 + 11 = 2x + 4x\), что дает \(12 = 6x\). Разделим на 6: \(x = \frac{12}{6} = 2\). Подставим \(x = 2\) в первое уравнение: \(y = -4(2) + 1 = -8 + 1 = -7\). Точка пересечения: \((2; -7)\).
2) Из второго уравнения выразим \(x\): \(x = 12 + 8y\). Подставим это в первое уравнение: \(3(12 + 8y) + 2y = 10\). Раскроем скобки: \(36 + 24y + 2y = 10\). Объединим \(y\): \(36 + 26y = 10\). Вычтем 36 из обеих частей: \(26y = 10 — 36 = -26\). Разделим на 26: \(y = \frac{-26}{26} = -1\). Подставим \(y = -1\) в выражение для \(x\): \(x = 12 + 8(-1) = 12 — 8 = 4\). Точка пересечения: \((4; -1)\).
Для нахождения точки пересечения двух прямых необходимо решить систему уравнений, описывающих эти прямые.
Для первой пары прямых, заданных уравнениями \(y = -4x + 1\) и \(y = 2x — 11\), мы можем использовать метод подстановки. Поскольку оба уравнения уже выражены относительно \(y\), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти значение \(x\). Уравнение будет выглядеть следующим образом: \(-4x + 1 = 2x — 11\).
Для того чтобы собрать все члены с \(x\) на одной стороне уравнения, а константы на другой, прибавим \(4x\) к обеим частям уравнения: \(1 = 2x + 4x — 11\). Объединив члены с \(x\), получим: \(1 = 6x — 11\). Теперь прибавим 11 к обеим частям уравнения, чтобы изолировать член с \(x\): \(1 + 11 = 6x\). Это упрощается до \(12 = 6x\). Чтобы найти значение \(x\), разделим обе части уравнения на 6: \(x = \frac{12}{6}\), что дает \(x = 2\).
После того как мы нашли значение \(x\), подставим его в одно из исходных уравнений для нахождения \(y\). Используем первое уравнение: \(y = -4x + 1\). Подставляя \(x = 2\), получаем: \(y = -4(2) + 1\). Выполняя умножение, находим: \(y = -8 + 1\). Следовательно, \(y = -7\). Таким образом, точка пересечения для первой пары прямых имеет координаты \((2; -7)\).
Для второй пары прямых, заданных уравнениями \(3x + 2y = 10\) и \(x — 8y = 12\), мы также можем использовать метод подстановки. Из второго уравнения \(x — 8y = 12\) удобнее всего выразить \(x\). Для этого прибавим \(8y\) к обеим частям уравнения: \(x = 12 + 8y\).
Теперь подставим это выражение для \(x\) в первое уравнение \(3x + 2y = 10\). Получаем: \(3(12 + 8y) + 2y = 10\). Раскроем скобки, умножив 3 на каждый член внутри скобок: \(3 \times 12 + 3 \times 8y + 2y = 10\). Это дает: \(36 + 24y + 2y = 10\). Объединим члены с \(y\): \(36 + 26y = 10\). Чтобы изолировать член с \(y\), вычтем 36 из обеих частей уравнения: \(26y = 10 — 36\). Это упрощается до \(26y = -26\). Для нахождения значения \(y\), разделим обе части уравнения на 26: \(y = \frac{-26}{26}\), что дает \(y = -1\).
Наконец, подставим найденное значение \(y = -1\) обратно в выражение для \(x\): \(x = 12 + 8y\). Подставляя \(y = -1\), получаем: \(x = 12 + 8(-1)\). Выполняя умножение, находим: \(x = 12 — 8\). Следовательно, \(x = 4\). Таким образом, точка пересечения для второй пары прямых имеет координаты \((4; -1)\).
