ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 367 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки А (-3; -4), В (-2; 2), С (1; 3) и D (3; -2) – вершины трапеции ABCD (ВС \(|| \) AD). Составьте уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

1) Координаты середины \(E\) стороны \(AB\): \(A(-3; -4)\), \(B(-2; 2)\).
\(x_E = \frac{-3 + (-2)}{2} = \frac{-5}{2}\), \(y_E = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1\).
Значит, \(E\left(-\frac{5}{2}; -1\right)\).

2) Координаты середины \(F\) стороны \(CD\): \(C(1; 3)\), \(D(3; -2)\).
\(x_F = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2\), \(y_F = \frac{3 + (-2)}{2} = \frac{1}{2}\).
Значит, \(F\left(2; \frac{1}{2}\right)\).

3) Уравнение прямой \(EF\) в виде \(y = kx + p\).
Для точки \(E\left(-\frac{5}{2}; -1\right)\): \(-1 = k\left(-\frac{5}{2}\right) + p\).
Для точки \(F\left(2; \frac{1}{2}\right)\): \(\frac{1}{2} = k(2) + p\).
Вычитаем первое уравнение из второго:
\(\frac{1}{2} — (-1) = 2k — \left(-\frac{5}{2}k\right)\)
\(\frac{3}{2} = 2k + \frac{5}{2}k\)
\(\frac{3}{2} = \frac{4k + 5k}{2}\)
\(\frac{3}{2} = \frac{9k}{2}\)
\(3 = 9k\)
\(k = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).
Подставляем \(k = \frac{1}{3}\) во второе уравнение:
\(\frac{1}{2} = 2\left(\frac{1}{3}\right) + p\)
\(\frac{1}{2} = \frac{2}{3} + p\)
\(p = \frac{1}{2} — \frac{2}{3} = \frac{3}{6} — \frac{4}{6} = -\frac{1}{6}\).
Уравнение прямой \(EF\): \(y = \frac{1}{3}x — \frac{1}{6}\).

Для нахождения уравнения прямой, содержащей среднюю линию трапеции, необходимо выполнить следующие шаги.

Первым шагом определяется середина отрезка \(AB\), которая является одной из концевых точек средней линии. Координаты точки \(A\) заданы как \((-3; -4)\), а координаты точки \(B\) как \((-2; 2)\). Используя формулу для нахождения координат середины отрезка, которая для точки с координатами \((x_1; y_1)\) и точки с координатами \((x_2; y_2)\) имеет вид \(\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\), вычисляются координаты середины \(E\).
Абсцисса точки \(E\) (координата \(x\)) будет равна \(\frac{-3 + (-2)}{2} = \frac{-5}{2}\).
Ордината точки \(E\) (координата \(y\)) будет равна \(\frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1\).
Таким образом, координаты первой точки средней линии \(E\) составляют \(\left(-\frac{5}{2}; -1\right)\).

Вторым шагом определяется середина отрезка \(CD\), которая является второй концевой точкой средней линии. Координаты точки \(C\) заданы как \((1; 3)\), а координаты точки \(D\) как \((3; -2)\). Снова используя ту же формулу для нахождения координат середины отрезка, вычисляются координаты середины \(F\).
Абсцисса точки \(F\) (координата \(x\)) будет равна \(\frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
Ордината точки \(F\) (координата \(y\)) будет равна \(\frac{3 + (-2)}{2} = \frac{1}{2}\).
Таким образом, координаты второй точки средней линии \(F\) составляют \(\left(2; \frac{1}{2}\right)\).

Третьим шагом составляется уравнение прямой, проходящей через найденные точки \(E\) и \(F\). Общий вид уравнения прямой в декартовой системе координат можно представить как \(y = kx + p\), где \(k\) — угловой коэффициент, а \(p\) — свободный член. Для нахождения значений \(k\) и \(p\) подставляются координаты точек \(E\) и \(F\) в это уравнение, что приводит к системе из двух линейных уравнений.
Подставляя координаты точки \(E\left(-\frac{5}{2}; -1\right)\), получаем первое уравнение: \(-1 = k\left(-\frac{5}{2}\right) + p\).
Подставляя координаты точки \(F\left(2; \frac{1}{2}\right)\), получаем второе уравнение: \(\frac{1}{2} = k(2) + p\).
Для решения этой системы уравнений можно вычесть первое уравнение из второго.
\(\left(\frac{1}{2}\right) — (-1) = (2k + p) — \left(-\frac{5}{2}k + p\right)\)
\(\frac{1}{2} + 1 = 2k + \frac{5}{2}k\)
\(\frac{3}{2} = \frac{4k}{2} + \frac{5k}{2}\)
\(\frac{3}{2} = \frac{9k}{2}\)
Умножая обе части уравнения на 2, получаем: \(3 = 9k\).
Отсюда находим значение углового коэффициента \(k\): \(k = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).
Теперь, подставляем найденное значение \(k = \frac{1}{3}\) во второе уравнение \(\frac{1}{2} = 2k + p\), чтобы найти значение \(p\).
\(\frac{1}{2} = 2\left(\frac{1}{3}\right) + p\)
\(\frac{1}{2} = \frac{2}{3} + p\)
Для нахождения \(p\) вычитаем \(\frac{2}{3}\) из \(\frac{1}{2}\):
\(p = \frac{1}{2} — \frac{2}{3}\)
Для вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, который равен 6:
\(p = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} — \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}\)
\(p = \frac{3}{6} — \frac{4}{6}\)
\(p = -\frac{1}{6}\).
Таким образом, уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции, имеет вид \(y = \frac{1}{3}x — \frac{1}{6}\).