ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 368 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Абсциссы середин боковых сторон трапеции равны. Верно ли утверждение, что основания трапеции перпендикулярны оси абсцисс?

Средняя линия трапеции, соединяющая середины боковых сторон \(E(a; y_1)\) и \(F(a; y_2)\), имеет уравнение \(x = a\). Так как средняя линия трапеции \(EF\) параллельна ее основаниям \(BC\) и \(AD\), и при этом \(EF\) перпендикулярна оси абсцисс \(Ox\), то и основания \(BC\) и \(AD\) также перпендикулярны оси абсцисс \(Ox\).
Ответ: да.

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(AD\) и \(BC\) являются основаниями, то есть \(AD \parallel BC\). Пусть \(E\) — середина боковой стороны \(AB\), а \(F\) — середина боковой стороны \(CD\). По условию задачи, абсциссы середин обеих боковых сторон трапеции равны. Это означает, что координаты точек \(E\) и \(F\) можно записать как \(E(x_0; y_E)\) и \(F(x_0; y_F)\) для некоторого значения \(x_0\).

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. В данном случае, отрезок \(EF\) является средней линией трапеции \(ABCD\). Одним из ключевых свойств средней линии трапеции является то, что она параллельна основаниям трапеции. Следовательно, \(EF \parallel AD\) и \(EF \parallel BC\).

Так как точки \(E\) и \(F\) имеют одинаковую абсциссу \(x_0\), отрезок \(EF\) является вертикальным отрезком в декартовой системе координат. Это означает, что отрезок \(EF\) перпендикулярен оси абсцисс \(Ox\).

Поскольку средняя линия \(EF\) параллельна основаниям \(AD\) и \(BC\), и при этом \(EF\) перпендикулярна оси \(Ox\), то и основания \(AD\) и \(BC\) также должны быть перпендикулярны оси \(Ox\). Если отрезок или прямая перпендикулярны оси \(Ox\), это означает, что они являются вертикальными. Таким образом, основания трапеции являются вертикальными отрезками.