ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 369 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите периметр треугольника, ограниченного осями координат и прямой \(4x — 3y = 12\).

1) Пересечение с осями:
При \(y = 0\): \(4x — 3 \cdot 0 = 12 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3\).
При \(x = 0\): \(4 \cdot 0 — 3y = 12 \Rightarrow -3y = 12 \Rightarrow y = -4\).
Длины катетов треугольника равны \(3\) и \(4\).

2) Периметр треугольника:
Длина гипотенузы \(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
Периметр \(P = 3 + 4 + 5 = 12\).

Для того чтобы найти периметр треугольника, ограниченного осями координат и заданной прямой, необходимо определить координаты вершин этого треугольника, а затем вычислить длины его сторон.

Первым шагом мы найдем точки пересечения прямой \(4x — 3y = 12\) с осями координат. Эти точки будут двумя из трех вершин нашего треугольника. Третьей вершиной всегда является начало координат, то есть точка \((0, 0)\), поскольку треугольник ограничен осями.

Чтобы найти точку пересечения с осью X, мы должны подставить значение \(y = 0\) в уравнение прямой. Это связано с тем, что любая точка, лежащая на оси X, имеет координату \(y\), равную нулю.
Подставляем \(y = 0\) в уравнение \(4x — 3y = 12\):
\(4x — 3 \cdot 0 = 12\)
\(4x — 0 = 12\)
\(4x = 12\)
Чтобы найти значение \(x\), разделим обе части уравнения на \(4\):
\(x = \frac{12}{4}\)
\(x = 3\)
Таким образом, первая точка пересечения с осью X имеет координаты \((3, 0)\). Длина стороны треугольника, лежащей на оси X, от начала координат до этой точки, равна \(3\) единицам.

Далее, чтобы найти точку пересечения с осью Y, мы должны подставить значение \(x = 0\) в уравнение прямой. Это связано с тем, что любая точка, лежащая на оси Y, имеет координату \(x\), равную нулю.
Подставляем \(x = 0\) в уравнение \(4x — 3y = 12\):
\(4 \cdot 0 — 3y = 12\)
\(0 — 3y = 12\)
\(-3y = 12\)
Чтобы найти значение \(y\), разделим обе части уравнения на \(-3\):
\(y = \frac{12}{-3}\)
\(y = -4\)
Таким образом, вторая точка пересечения с осью Y имеет координаты \((0, -4)\). Длина стороны треугольника, лежащей на оси Y, от начала координат до этой точки, равна абсолютной величине \(-4\), то есть \(4\) единицам.

Теперь у нас есть три вершины треугольника: \((0, 0)\), \((3, 0)\) и \((0, -4)\). Этот треугольник является прямоугольным, так как его две стороны лежат на взаимно перпендикулярных осях координат. Длины катетов этого прямоугольного треугольника равны \(3\) и \(4\).

Для нахождения длины третьей стороны, которая является гипотенузой, мы используем теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Если \(a\) и \(b\) — длины катетов, а \(c\) — длина гипотенузы, то \(c^2 = a^2 + b^2\).
В нашем случае \(a = 3\) и \(b = 4\). Подставляем эти значения в формулу:
\(c^2 = 3^2 + 4^2\)
Вычисляем квадраты:
\(3^2 = 3 \cdot 3 = 9\)
\(4^2 = 4 \cdot 4 = 16\)
Теперь подставляем эти значения обратно в уравнение:
\(c^2 = 9 + 16\)
\(c^2 = 25\)
Чтобы найти \(c\), извлечем квадратный корень из \(25\):
\(c = \sqrt{25}\)
\(c = 5\)
Таким образом, длина гипотенузы (третьей стороны треугольника) равна \(5\) единицам.

Наконец, чтобы найти периметр треугольника, мы должны сложить длины всех трех его сторон.
Периметр \(P\) равен сумме длин катетов и гипотенузы:
\(P = 3 + 4 + 5\)
Выполняем сложение:
\(P = 12\)
Следовательно, периметр треугольника, ограниченного осями координат и прямой \(4x — 3y = 12\), равен \(12\) единицам.