ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 37 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На стороне \(AB\) равностороннего треугольника \(ABC\) отмечена точка \(D\) так, что \(AD : DB = 2 : 1\). Найдите отрезок \(CD\), если \(AB = 6\) см.

Треугольник равносторонний, \(AB = 6\). Точка \(D\) делит \(AB\) в отношении \(2:1\), значит \(AD = \frac{2}{3} \times 6 = 4\).

Высота равностороннего треугольника \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3}\).

Координаты: \(A(0;0)\), \(B(6;0)\), \(D(4;0)\), \(C(3;3\sqrt{3})\).

Длина \(CD = \sqrt{(4-3)^2 + (0-3\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 9 \times 3} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\).

Ответ: \(CD = 2\sqrt{7}\).

Рассмотрим равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 6\) см. Поскольку треугольник равносторонний, все его стороны равны, то есть \(AC = BC = 6\) см.

Точка \(D\) лежит на стороне \(AB\) и делит её в отношении \(AD : DB = 2 : 1\). Значит, длина отрезка \(AD\) составляет \(\frac{2}{3}\) от длины \(AB\), то есть \(AD = \frac{2}{3} \times 6 = 4\) см.

Для удобства расположим треугольник в координатной плоскости так, чтобы точка \(A\) была в начале координат: \(A = (0;0)\), а точка \(B\) — на оси \(x\), то есть \(B = (6;0)\).

Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times AB\). Подставляем \(AB = 6\), получаем \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3}\).

Точка \(C\) находится на высоте \(h\) над серединой отрезка \(AB\), то есть её координаты будут \(C = (3; 3\sqrt{3})\).

Так как точка \(D\) делит \(AB\) в отношении \(2 : 1\) и \(A = (0;0)\), \(B = (6;0)\), координаты точки \(D\) будут \(D = (4;0)\).

Теперь найдём длину отрезка \(CD\) по формуле расстояния между двумя точками: \(CD = \sqrt{(x_D — x_C)^2 + (y_D — y_C)^2}\).

Подставляем значения: \(CD = \sqrt{(4 — 3)^2 + (0 — 3\sqrt{3})^2} = \sqrt{1^2 + (-3\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 9 \times 3} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\).

Ответ: \(CD = 2\sqrt{7}\) см.