ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 370 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и прямой \(7y — 2x = 28\).

1) Пересечение с осями:
Для \(y = 0\): \(-2x = 28\), \(x = -14\).
Для \(x = 0\): \(7y = 28\), \(y = 4\).

2) Площадь треугольника:
\(S = \frac{1}{2} \cdot |-14| \cdot |4|\)
\(S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 4\)
\(S = 7 \cdot 4\)
\(S = 28\)

Ответ: 28.

Для того чтобы найти площадь треугольника, ограниченного осями координат и заданной прямой, необходимо сначала определить точки пересечения этой прямой с координатными осями.

Уравнение прямой задано как \(7y — 2x = 28\).

Первым шагом найдем точку пересечения прямой с осью абсцисс (осью \(X\)). На оси \(X\) координата \(y\) всегда равна нулю. Подставим \(y = 0\) в уравнение прямой:
\(7(0) — 2x = 28\)
Это упрощается до:
\(-2x = 28\)
Чтобы найти значение \(x\), разделим обе части уравнения на \(-2\):
\(x = \frac{28}{-2}\)
\(x = -14\)
Таким образом, точка пересечения с осью \(X\) имеет координаты \((-14, 0)\).

Вторым шагом найдем точку пересечения прямой с осью ординат (осью \(Y\)). На оси \(Y\) координата \(x\) всегда равна нулю. Подставим \(x = 0\) в уравнение прямой:
\(7y — 2(0) = 28\)
Это упрощается до:
\(7y = 28\)
Чтобы найти значение \(y\), разделим обе части уравнения на \(7\):
\(y = \frac{28}{7}\)
\(y = 4\)
Таким образом, точка пересечения с осью \(Y\) имеет координаты \((0, 4)\).

Треугольник, о котором идет речь, образован тремя точками: началом координат \((0,0)\), точкой пересечения с осью \(X\) \((-14, 0)\) и точкой пересечения с осью \(Y\) \((0, 4)\). Поскольку две стороны этого треугольника лежат на осях координат, это прямоугольный треугольник. Его катеты лежат на осях \(X\) и \(Y\).

Длина катета, лежащего на оси \(X\), равна абсолютному значению x-координаты точки пересечения с осью \(X\). То есть, длина основания треугольника равна \(|-14| = 14\) единицам.

Длина катета, лежащего на оси \(Y\), равна абсолютному значению y-координаты точки пересечения с осью \(Y\). То есть, длина высоты треугольника равна \(|4| = 4\) единицам.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\).
Подставим найденные значения основания и высоты в формулу:
\(S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 4\)
Выполним умножение:
\(S = 7 \cdot 4\)
\(S = 28\)

Таким образом, площадь треугольника, ограниченного осями координат и прямой \(7y — 2x = 28\), составляет 28 квадратных единиц.

28