Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 371 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми \(3x + 2y = 6\) и \(y = -\frac{9}{4}x\) и осью ординат.
Точка пересечения прямых \(3x + 2y = 6\) и \(y = -\frac{9}{4}x\):
Подставим \(y\) во первое уравнение: \(3x + 2\left(-\frac{9}{4}x\right) = 6\).
Упрощаем: \(3x — \frac{9}{2}x = 6\), что дает \(3x — 4.5x = 6\).
Получаем \(-1.5x = 6\), откуда \(x = -4\).
Подставляем \(x = -4\) в \(y = -\frac{9}{4}x\): \(y = -\frac{9}{4}(-4) = 9\).
Точка пересечения: \((-4, 9)\).
Пересечение прямой \(3x + 2y = 6\) с осью \(Oy\) (\(x=0\)):
\(3(0) + 2y = 6\), что дает \(2y = 6\), откуда \(y = 3\).
Точка пересечения: \((0, 3)\).
Пересечение прямой \(y = -\frac{9}{4}x\) с осью \(Oy\) (\(x=0\)):
\(y = -\frac{9}{4}(0)\), что дает \(y = 0\).
Точка пересечения: \((0, 0)\).
Вершины треугольника: \((-4, 9)\), \((0, 3)\) и \((0, 0)\).
Основание треугольника на оси \(Oy\) равно \(3 — 0 = 3\).
Высота треугольника (расстояние от точки \((-4, 9)\) до оси \(Oy\)) равна \(|-4| = 4\).
Площадь треугольника \(S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\).
\(S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = \frac{1}{2} \times 12 = 6\).
Для нахождения площади треугольника, ограниченного заданными прямыми, необходимо определить координаты его вершин. Треугольник образован тремя линиями: первой прямой \(3x + 2y = 6\), второй прямой \(y = -\frac{9}{4}x\), и третьей линией, которая является осью ординат, то есть прямой \(x=0\).
Первым шагом найдем координаты первой вершины треугольника, которая является точкой пересечения первой и второй прямых. Для этого подставим выражение для \(y\) из второго уравнения \(y = -\frac{9}{4}x\) в первое уравнение \(3x + 2y = 6\). Это дает нам:
\(3x + 2\left(-\frac{9}{4}x\right) = 6\)
Упростим второе слагаемое: \(2 \times -\frac{9}{4}x = -\frac{18}{4}x = -\frac{9}{2}x\).
Теперь уравнение выглядит так: \(3x — \frac{9}{2}x = 6\).
Приведем \(3x\) к общему знаменателю \(2\), получим \(\frac{6}{2}x\).
Уравнение становится: \(\frac{6}{2}x — \frac{9}{2}x = 6\).
Выполним вычитание дробей: \(\frac{6x — 9x}{2} = 6\).
Это приводит к: \(\frac{-3x}{2} = 6\).
Чтобы найти \(x\), умножим обе стороны на \(2\): \(-3x = 12\).
Затем разделим на \(-3\): \(x = \frac{12}{-3}\), что дает \(x = -4\).
Теперь, когда мы знаем значение \(x\), подставим его обратно во второе уравнение \(y = -\frac{9}{4}x\), чтобы найти соответствующее значение \(y\):
\(y = -\frac{9}{4}(-4)\)
Умножим: \(y = \frac{36}{4}\), что дает \(y = 9\).
Таким образом, первая вершина треугольника имеет координаты \((-4, 9)\).
Вторым шагом найдем координаты второй вершины треугольника, которая является точкой пересечения первой прямой \(3x + 2y = 6\) с осью ординат \(x=0\). Для этого подставим \(x=0\) в уравнение первой прямой:
\(3(0) + 2y = 6\)
Это упрощается до: \(0 + 2y = 6\).
То есть: \(2y = 6\).
Разделим на \(2\): \(y = \frac{6}{2}\), что дает \(y = 3\).
Следовательно, вторая вершина треугольника имеет координаты \((0, 3)\).
Третьим шагом найдем координаты третьей вершины треугольника, которая является точкой пересечения второй прямой \(y = -\frac{9}{4}x\) с осью ординат \(x=0\). Для этого подставим \(x=0\) в уравнение второй прямой:
\(y = -\frac{9}{4}(0)\)
Это дает: \(y = 0\).
Таким образом, третья вершина треугольника имеет координаты \((0, 0)\).
Теперь у нас есть координаты всех трех вершин треугольника: \((-4, 9)\), \((0, 3)\) и \((0, 0)\).
Для вычисления площади треугольника можно использовать формулу \(S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\).
Заметим, что две вершины \((0, 3)\) и \((0, 0)\) лежат на оси ординат (\(x=0\)). Это позволяет нам выбрать отрезок, соединяющий эти две точки, в качестве основания треугольника.
Длина основания будет равна расстоянию между точками \((0, 3)\) и \((0, 0)\) по оси \(Oy\), что составляет \(|3 — 0| = 3\).
Высота треугольника будет перпендикулярным расстоянием от третьей вершины \((-4, 9)\) до оси ординат (основания). Это расстояние равно абсолютной величине x-координаты этой вершины, то есть \(|-4| = 4\).
Теперь подставим значения основания и высоты в формулу площади:
\(S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4\)
Выполним умножение: \(S = \frac{1}{2} \times 12\).
Окончательный результат: \(S = 6\).
