ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 372 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что окружность \((x — 5)^2 + (y — 5)^2 = 9\) и прямая \(x + y = 7\) пересекаются, и найдите координаты их точек пересечения.

Даны окружность \((x — 5)^2 + (y — 5)^2 = 9\) и прямая \(x + y = 7\).

Из уравнения прямой выразим \(y\): \(y = 7 — x\).

Подставим \(y\) в уравнение окружности:
\((x — 5)^2 + ((7 — x) — 5)^2 = 9\)
\((x — 5)^2 + (2 — x)^2 = 9\)
Раскроем скобки:
\((x^2 — 10x + 25) + (4 — 4x + x^2) = 9\)
Приведем подобные члены:
\(2x^2 — 14x + 29 = 9\)
\(2x^2 — 14x + 20 = 0\)
Разделим на 2:
\(x^2 — 7x + 10 = 0\)

Найдем дискриминант \(D\):
\(D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9\)

Найдем значения \(x\):
\(x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — 3}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
\(x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5\)

Найдем соответствующие значения \(y\):
При \(x_1 = 2\): \(y_1 = 7 — 2 = 5\). Первая точка пересечения \((2; 5)\).
При \(x_2 = 5\): \(y_2 = 7 — 5 = 2\). Вторая точка пересечения \((5; 2)\).

Ответ: \((2; 5)\); \((5; 2)\).

Даны уравнения окружности \((x — 5)^2 + (y — 5)^2 = 9\) и прямой \(x + y = 7\).

Первым шагом необходимо выразить одну переменную из уравнения прямой. Из уравнения \(x + y = 7\) удобно выразить \(y\) через \(x\). Для этого вычтем \(x\) из обеих частей уравнения: \(y = 7 — x\).

Следующим шагом подставим полученное выражение для \(y\) в уравнение окружности. Уравнение окружности имеет вид \((x — 5)^2 + (y — 5)^2 = 9\). Заменим \(y\) на \(7 — x\): \((x — 5)^2 + ((7 — x) — 5)^2 = 9\).

Теперь упростим выражение внутри второй скобки. Вычислим \((7 — x) — 5\): \(7 — 5 — x = 2 — x\). Таким образом, уравнение принимает вид: \((x — 5)^2 + (2 — x)^2 = 9\).

Далее необходимо раскрыть квадраты в левой части уравнения. Используем формулу \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\).
Для первого члена \((x — 5)^2\): \(x^2 — 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 — 10x + 25\).
Для второго члена \((2 — x)^2\): \(2^2 — 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 — 4x + x^2\).
Подставим эти раскрытые выражения обратно в уравнение: \((x^2 — 10x + 25) + (4 — 4x + x^2) = 9\).

Теперь объединим подобные члены. Сгруппируем члены с \(x^2\), члены с \(x\) и свободные члены:
\((x^2 + x^2) + (-10x — 4x) + (25 + 4) = 9\)
\(2x^2 — 14x + 29 = 9\)

Перенесем число 9 из правой части уравнения в левую, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\). Для этого вычтем 9 из обеих частей:
\(2x^2 — 14x + 29 — 9 = 0\)
\(2x^2 — 14x + 20 = 0\)

Заметим, что все коэффициенты в уравнении \(2x^2 — 14x + 20 = 0\) делятся на 2. Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
\(\frac{2x^2}{2} — \frac{14x}{2} + \frac{20}{2} = \frac{0}{2}\)
\(x^2 — 7x + 10 = 0\)

Теперь найдем дискриминант \(D\) этого квадратного уравнения. Для уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4ac\). В нашем уравнении \(x^2 — 7x + 10 = 0\), имеем \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = 10\).
Подставим эти значения в формулу дискриминанта:
\(D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10\)
\(D = 49 — 40\)
\(D = 9\)
Поскольку дискриминант \(D = 9\) больше нуля, это означает, что квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, и следовательно, прямая пересекает окружность в двух точках.

Далее найдем значения \(x\) с помощью формулы корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
Для первого корня \(x_1\):
\(x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1}\)
\(x_1 = \frac{7 — 3}{2}\)
\(x_1 = \frac{4}{2}\)
\(x_1 = 2\)
Для второго корня \(x_2\):
\(x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}\)
\(x_2 = \frac{7 + 3}{2}\)
\(x_2 = \frac{10}{2}\)
\(x_2 = 5\)

Наконец, найдем соответствующие значения \(y\) для каждого найденного \(x\). Используем уравнение прямой \(y = 7 — x\).
Для \(x_1 = 2\):
\(y_1 = 7 — 2\)
\(y_1 = 5\)
Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты \((2; 5)\).
Для \(x_2 = 5\):
\(y_2 = 7 — 5\)
\(y_2 = 2\)
Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты \((5; 2)\).

Ответ: \((2; 5)\); \((5; 2)\).