ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 373 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что прямая \(x + y = 5\) является касательной к окружности \((x — 3)^2 + (y + 2)^2 = 8\), и найдите координаты точки касания.
Даны окружность и прямая: \((x-3)^2 + (y+2)^2 = 8\); \(x+y = 5\), из которой \(y = 5-x\).
Подставим \(y = 5-x\) в уравнение окружности: \((x-3)^2 + ((5-x)+2)^2 = 8\).
Упрощаем: \((x-3)^2 + (7-x)^2 = 8\).
Раскрываем скобки: \((x^2 — 6x + 9) + (49 — 14x + x^2) = 8\).
Приводим подобные члены: \(2x^2 — 20x + 58 = 8\).
Переносим 8: \(2x^2 — 20x + 50 = 0\).
Делим на 2: \(x^2 — 10x + 25 = 0\).
Находим дискриминант: \(D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 — 100 = 0\).
Так как \(D=0\), то \(x = \frac{-(-10)}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5\).
Находим \(y\): \(y = 5 — x = 5 — 5 = 0\).
Точка касания: \((5; 0)\).
Дана окружность, описываемая уравнением \((x — 3)^2 + (y + 2)^2 = 8\). Также дана прямая, описываемая уравнением \(x + y = 5\). Целью является доказательство того, что данная прямая является касательной к данной окружности, и определение координат точки их касания.
Первым шагом является выражение одной переменной через другую из уравнения прямой. Из уравнения \(x + y = 5\) удобно выразить \(y\) через \(x\). Для этого вычтем \(x\) из обеих частей уравнения, получая \(y = 5 — x\).
Следующим шагом является подстановка полученного выражения для \(y\) в уравнение окружности. Заменим \(y\) в уравнении \((x — 3)^2 + (y + 2)^2 = 8\) на \((5 — x)\). Это приводит к уравнению \((x — 3)^2 + ((5 — x) + 2)^2 = 8\).
Упростим выражение внутри второй скобки: \(((5 — x) + 2)\) становится \((7 — x)\). Таким образом, уравнение принимает вид \((x — 3)^2 + (7 — x)^2 = 8\).
Теперь необходимо раскрыть квадраты двучленов. Используем формулу квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\).
Раскрываем \((x — 3)^2\): \(x^2 — 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 — 6x + 9\).
Раскрываем \((7 — x)^2\): \(7^2 — 2 \cdot 7 \cdot x + x^2 = 49 — 14x + x^2\).
Подставляем раскрытые выражения обратно в уравнение: \((x^2 — 6x + 9) + (49 — 14x + x^2) = 8\).
Далее необходимо сгруппировать подобные члены в левой части уравнения.
Складываем члены с \(x^2\): \(x^2 + x^2 = 2x^2\).
Складываем члены с \(x\): \(-6x — 14x = -20x\).
Складываем постоянные члены: \(9 + 49 = 58\).
Таким образом, уравнение преобразуется к виду \(2x^2 — 20x + 58 = 8\).
Чтобы привести это уравнение к стандартному виду квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), вычтем 8 из обеих частей: \(2x^2 — 20x + 58 — 8 = 0\).
Это дает \(2x^2 — 20x + 50 = 0\).
Для упрощения уравнения разделим все его члены на 2: \(\frac{2x^2}{2} — \frac{20x}{2} + \frac{50}{2} = \frac{0}{2}\).
В результате получаем квадратное уравнение \(x^2 — 10x + 25 = 0\).
Теперь необходимо найти дискриминант \(D\) этого квадратного уравнения. Для уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4ac\).
В нашем уравнении \(x^2 — 10x + 25 = 0\), коэффициенты следующие: \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = 25\).
Подставляем эти значения в формулу дискриминанта: \(D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 25\).
Вычисляем: \(D = 100 — 100\).
Таким образом, \(D = 0\).
Значение дискриминанта, равное нулю, является ключевым моментом. Оно означает, что квадратное уравнение имеет ровно одно решение (один корень). В контексте задачи о пересечении прямой и окружности, это единственное решение указывает на то, что прямая и окружность имеют только одну общую точку. Это, по определению, означает, что прямая является касательной к окружности.
Теперь найдем значение \(x\) для этой единственной точки касания. Поскольку \(D = 0\), корень квадратного уравнения находится по упрощенной формуле \(x = \frac{-b}{2a}\).
Подставляем значения \(b = -10\) и \(a = 1\): \(x = \frac{-(-10)}{2 \cdot 1}\).
Вычисляем: \(x = \frac{10}{2}\).
Следовательно, \(x = 5\).
Последним шагом является нахождение соответствующего значения \(y\) для точки касания. Для этого подставим найденное значение \(x = 5\) обратно в уравнение прямой \(y = 5 — x\).
\(y = 5 — 5\).
Таким образом, \(y = 0\).
Координаты точки касания, найденные в результате всех вычислений, составляют \((5; 0)\).
