ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 374 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что окружность \((x — 4)^2 + (y — 2)^2 = 1\) и прямая \(3x + y = 3\) не имеют общих точек.

Даны окружность и прямая: \((x — 4)^2 + (y — 2)^2 = 1\); \(3x + y = 3\), что равносильно \(y = 3 — 3x\).

Для нахождения точек пересечения подставим выражение для \(y\) в уравнение окружности:
\((x — 4)^2 + ((3 — 3x) — 2)^2 = 1\)
\((x — 4)^2 + (1 — 3x)^2 = 1\)
Раскроем скобки:
\(x^2 — 8x + 16 + 1 — 6x + 9x^2 = 1\)
Приведем подобные члены:
\(10x^2 — 14x + 17 = 1\)
Перенесем 1 в левую часть:
\(10x^2 — 14x + 16 = 0\)
Разделим все члены уравнения на 2:
\(5x^2 — 7x + 8 = 0\)

Найдем дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) по формуле \(D = b^2 — 4ac\).
В нашем случае \(a = 5\), \(b = -7\), \(c = 8\).
\(D = (-7)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 8\)
\(D = 49 — 160\)
\(D = -111\)

Так как \(D = -111 < 0\), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что окружность и прямая не имеют общих точек.

Первоначально нам даны два уравнения: уравнение окружности \((x — 4)^2 + (y — 2)^2 = 1\) и уравнение прямой \(3x + y = 3\). Для того чтобы определить, имеют ли эти две геометрические фигуры общие точки, нам необходимо найти такие значения \(x\) и \(y\), которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям.

Начнем с уравнения прямой, так как оно является линейным и из него легко выразить одну переменную через другую. Из уравнения \(3x + y = 3\) мы можем выразить \(y\), вычтя \(3x\) из обеих частей уравнения. Таким образом, мы получаем \(y = 3 — 3x\). Это выражение для \(y\) теперь будет подставлено в уравнение окружности.

Подставляя \(y = 3 — 3x\) в уравнение окружности \((x — 4)^2 + (y — 2)^2 = 1\), мы получаем следующее выражение: \((x — 4)^2 + ((3 — 3x) — 2)^2 = 1\). Упростим выражение внутри вторых скобок: \((3 — 3x) — 2\) становится \(1 — 3x\). Следовательно, уравнение принимает вид \((x — 4)^2 + (1 — 3x)^2 = 1\).

Теперь необходимо раскрыть квадраты в полученном уравнении. Первый член, \((x — 4)^2\), раскрывается как \(x^2 — 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2\), что дает \(x^2 — 8x + 16\). Второй член, \((1 — 3x)^2\), раскрывается как \(1^2 — 2 \cdot 1 \cdot 3x + (3x)^2\), что дает \(1 — 6x + 9x^2\). Подставляя эти раскрытые формы обратно в уравнение, мы получаем: \(x^2 — 8x + 16 + 1 — 6x + 9x^2 = 1\).

Далее, мы сгруппируем подобные члены и приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\). Сложим члены с \(x^2\): \(x^2 + 9x^2 = 10x^2\). Сложим члены с \(x\): \(-8x — 6x = -14x\). Сложим постоянные члены: \(16 + 1 = 17\). Таким образом, уравнение принимает вид \(10x^2 — 14x + 17 = 1\). Чтобы получить стандартную форму, вычтем 1 из обеих частей уравнения: \(10x^2 — 14x + 17 — 1 = 0\), что упрощается до \(10x^2 — 14x + 16 = 0\). Для удобства можно разделить все члены уравнения на 2, получая \(5x^2 — 7x + 8 = 0\).

Наконец, мы вычислим дискриминант \(D\) полученного квадратного уравнения. Для квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) дискриминант определяется формулой \(D = b^2 — 4ac\). В нашем уравнении \(5x^2 — 7x + 8 = 0\), коэффициенты следующие: \(a = 5\), \(b = -7\), и \(c = 8\). Подставим эти значения в формулу дискриминанта: \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 8\). Выполняя вычисления, получаем \(D = 49 — 160\). Окончательный результат вычитания дает \(D = -111\).

Поскольку дискриминант \(D = -111\) является отрицательным числом (\(D < 0\)), это означает, что квадратное уравнение \(5x^2 — 7x + 8 = 0\) не имеет действительных корней для \(x\). Отсутствие действительных корней для \(x\) свидетельствует о том, что не существует таких точек \((x, y)\), которые одновременно удовлетворяли бы уравнениям окружности и прямой. Следовательно, окружность и прямая не имеют общих точек.