ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 375 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите расстояние от начала координат до прямой \(5x — 2y = 10\).

Уравнение прямой: \(5x — 2y = 10\).
Перепишем уравнение в виде: \(2y = 5x — 10\), откуда \(y = \frac{5}{2}x — 5\).
Угловой коэффициент данной прямой равен \(m_1 = \frac{5}{2}\).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой, проходящей через начало координат, равен \(m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{5}{2}} = -\frac{2}{5}\).
Уравнение перпендикулярной прямой: \(y = -\frac{2}{5}x\).

Найдем точку пересечения двух прямых, подставив \(y = -\frac{2}{5}x\) в уравнение \(5x — 2y = 10\):
\(5x — 2\left(-\frac{2}{5}x\right) = 10\)
\(5x + \frac{4}{5}x = 10\)
Умножим все на 5: \(25x + 4x = 50\)
\(29x = 50\)
\(x = \frac{50}{29}\)

Теперь найдем \(y\):
\(y = -\frac{2}{5} \cdot \frac{50}{29} = -\frac{2 \cdot 10}{29} = -\frac{20}{29}\)
Точка пересечения: \(P\left(\frac{50}{29}, -\frac{20}{29}\right)\).

Расстояние от начала координат \((0,0)\) до точки \(P\left(\frac{50}{29}, -\frac{20}{29}\right)\) вычисляется по формуле расстояния:
\(S = \sqrt{\left(\frac{50}{29}\right)^2 + \left(-\frac{20}{29}\right)^2}\)
\(S = \sqrt{\frac{2500}{29^2} + \frac{400}{29^2}}\)
\(S = \sqrt{\frac{2500 + 400}{29^2}}\)
\(S = \sqrt{\frac{2900}{29^2}}\)
\(S = \frac{\sqrt{2900}}{29}\)
\(S = \frac{\sqrt{100 \cdot 29}}{29}\)
\(S = \frac{10\sqrt{29}}{29}\)

Для того чтобы найти расстояние от начала координат \( (0,0) \) до прямой, заданной уравнением \( 5x — 2y = 10 \), мы можем использовать метод нахождения перпендикуляра от начала координат к данной прямой. Расстояние от начала координат до точки пересечения этого перпендикуляра с исходной прямой и будет искомым расстоянием.

Сначала преобразуем уравнение данной прямой \( 5x — 2y = 10 \) к виду с угловым коэффициентом \( y = mx + b \). Для этого выразим \( y \):
\( -2y = -5x + 10 \)
Разделим обе части уравнения на \( -2 \):
\( y = \frac{-5x}{-2} + \frac{10}{-2} \)
\( y = \frac{5}{2}x — 5 \)
Из этого уравнения видно, что угловой коэффициент данной прямой \( m_1 = \frac{5}{2} \).

Далее найдем угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через начало координат. Если две прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно \( -1 \). То есть, \( m_1 \cdot m_2 = -1 \).
\( \frac{5}{2} \cdot m_2 = -1 \)
\( m_2 = -\frac{1}{\frac{5}{2}} \)
\( m_2 = -\frac{2}{5} \)
Теперь, зная угловой коэффициент перпендикулярной прямой \( m_2 = -\frac{2}{5} \) и то, что она проходит через начало координат \( (0,0) \), мы можем записать ее уравнение. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид \( y = mx \).
Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой: \( y = -\frac{2}{5}x \).

Следующим шагом найдем координаты точки пересечения двух прямых: исходной прямой \( y = \frac{5}{2}x — 5 \) и перпендикулярной прямой \( y = -\frac{2}{5}x \). Для этого приравняем правые части их уравнений:
\( \frac{5}{2}x — 5 = -\frac{2}{5}x \)
Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на наименьший общий знаменатель чисел 2 и 5, то есть на 10:
\( 10 \cdot \left(\frac{5}{2}x\right) — 10 \cdot 5 = 10 \cdot \left(-\frac{2}{5}x\right) \)
\( 5 \cdot 5x — 50 = 2 \cdot (-2x) \)
\( 25x — 50 = -4x \)
Перенесем все члены с \( x \) в одну сторону, а константы в другую:
\( 25x + 4x = 50 \)
\( 29x = 50 \)
\( x = \frac{50}{29} \)
Теперь подставим найденное значение \( x \) в уравнение перпендикулярной прямой \( y = -\frac{2}{5}x \) для нахождения соответствующей координаты \( y \):
\( y = -\frac{2}{5} \cdot \frac{50}{29} \)
\( y = -\frac{2 \cdot 10 \cdot 5}{5 \cdot 29} \)
\( y = -\frac{2 \cdot 10}{29} \)
\( y = -\frac{20}{29} \)
Таким образом, точка пересечения двух прямых, которая является ближайшей точкой на исходной прямой к началу координат, имеет координаты \( \left(\frac{50}{29}, -\frac{20}{29}\right) \).

Наконец, вычислим расстояние от начала координат \( (0,0) \) до этой точки пересечения \( \left(\frac{50}{29}, -\frac{20}{29}\right) \) используя формулу расстояния между двумя точками \( S = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \):
\( S = \sqrt{\left(\frac{50}{29} — 0\right)^2 + \left(-\frac{20}{29} — 0\right)^2} \)
\( S = \sqrt{\left(\frac{50}{29}\right)^2 + \left(-\frac{20}{29}\right)^2} \)
\( S = \sqrt{\frac{50^2}{29^2} + \frac{(-20)^2}{29^2}} \)
\( S = \sqrt{\frac{2500}{841} + \frac{400}{841}} \)
\( S = \sqrt{\frac{2500 + 400}{841}} \)
\( S = \sqrt{\frac{2900}{841}} \)
\( S = \frac{\sqrt{2900}}{\sqrt{841}} \)
Мы знаем, что \( \sqrt{841} = 29 \). Разложим \( \sqrt{2900} \):
\( \sqrt{2900} = \sqrt{100 \cdot 29} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{29} = 10\sqrt{29} \)
Подставим эти значения обратно в формулу расстояния:
\( S = \frac{10\sqrt{29}}{29} \)