ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 376 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите расстояние от начала координат до прямой \(x + y = -8\).

Дана прямая: \(x + y = -8\).

1. Перпендикулярная прямая, проходящая через начало координат:
Наклон прямой \(x + y = -8\) (или \(y = -x — 8\)) равен \(-1\).
Наклон перпендикулярной прямой равен \(1\).
Уравнение перпендикулярной прямой: \(y = x\).

2. Пересечение прямых:
\(-x — 8 = x\)
\(2x = -8\)
\(x = -4\)
\(y = -4\)
Точка пересечения: \((-4, -4)\).

3. Расстояние до начала координат:
\(S = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2}\)
\(S = \sqrt{16 + 16}\)
\(S = \sqrt{32}\)
\(S = \sqrt{16 \cdot 2}\)
\(S = 4\sqrt{2}\)

Для нахождения расстояния от начала координат до прямой \(x + y = -8\) мы будем использовать метод нахождения перпендикулярной прямой, проходящей через начало координат, определения точки их пересечения, а затем вычисления расстояния от начала координат до этой точки пересечения.

Сначала преобразуем уравнение данной прямой \(x + y = -8\) к виду с угловым коэффициентом \(y = mx + b\). Для этого вычтем \(x\) из обеих частей уравнения: \(y = -x — 8\). Из этого уравнения видно, что угловой коэффициент (наклон) данной прямой \(m_1\) равен \(-1\).

Далее нам необходимо найти угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через начало координат. Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно \(-1\). Если угловой коэффициент данной прямой \(m_1 = -1\), то угловой коэффициент перпендикулярной прямой \(m_2\) будет таким, что \(m_1 \cdot m_2 = -1\). Подставим значение \(m_1\): \((-1) \cdot m_2 = -1\), откуда \(m_2 = \frac{-1}{-1} = 1\).

Теперь составим уравнение перпендикулярной прямой. Эта прямая проходит через начало координат, то есть через точку \((0, 0)\), и имеет угловой коэффициент \(m_2 = 1\). Используя формулу уравнения прямой \(y — y_1 = m(x — x_1)\), где \((x_1, y_1)\) — это \((0, 0)\), получаем: \(y — 0 = 1(x — 0)\), что упрощается до \(y = x\).

Следующим шагом является нахождение координат точки пересечения двух прямых: исходной прямой \(y = -x — 8\) и перпендикулярной прямой \(y = x\). Для этого приравняем правые части их уравнений: \(-x — 8 = x\). Чтобы решить это уравнение относительно \(x\), прибавим \(x\) к обеим частям: \(-8 = x + x\), что дает \(-8 = 2x\). Разделим обе части на \(2\): \(x = \frac{-8}{2} = -4\). Поскольку для перпендикулярной прямой \(y = x\), то значение \(y\) в точке пересечения также будет \(-4\). Таким образом, точка пересечения двух прямых имеет координаты \((-4, -4)\).

Наконец, чтобы найти расстояние от начала координат \((0, 0)\) до точки пересечения \((-4, -4)\), мы используем формулу расстояния между двумя точками \(S = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\). Подставим координаты: \(x_1 = 0\), \(y_1 = 0\), \(x_2 = -4\), \(y_2 = -4\).
Получаем: \(S = \sqrt{(-4 — 0)^2 + (-4 — 0)^2}\).
Это упрощается до \(S = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2}\).
Вычислим квадраты: \(S = \sqrt{16 + 16}\).
Сложим значения под корнем: \(S = \sqrt{32}\).
Для упрощения квадратного корня из \(32\) найдем наибольший полный квадрат, который является множителем \(32\). Таким множителем является \(16\), так как \(32 = 16 \cdot 2\).
Тогда \(S = \sqrt{16 \cdot 2}\).
Используя свойство \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\), получаем \(S = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2}\).
Поскольку \(\sqrt{16} = 4\), окончательный результат для расстояния будет \(S = 4\sqrt{2}\).