ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 377 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите длину хорды окружности \((x + 1)^2 + (y — 2)^2 = 25\), лежащей на прямой \(y = 3x\).

Даны окружность \( (x + 1)^2 + (y — 2)^2 = 25 \) и прямая \( y = 3x \). Для нахождения точек пересечения подставим \( y = 3x \) в уравнение окружности: \( (x + 1)^2 + (3x — 2)^2 = 25 \). Раскрываем скобки: \( x^2 + 2x + 1 + 9x^2 — 12x + 4 = 25 \). Приводим подобные члены: \( 10x^2 — 10x + 5 = 25 \). Переносим 25 в левую часть: \( 10x^2 — 10x — 20 = 0 \). Делим все на 10: \( x^2 — x — 2 = 0 \). Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \). Корни \( x_1 = \frac{1 — \sqrt{9}}{2} = \frac{1 — 3}{2} = -1 \) и \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \).
Находим соответствующие значения \( y \):
Для \( x_1 = -1 \): \( y_1 = 3 \cdot (-1) = -3 \). Первая точка пересечения \( (-1, -3) \).
Для \( x_2 = 2 \): \( y_2 = 3 \cdot 2 = 6 \). Вторая точка пересечения \( (2, 6) \).
Длина хорды \( S \) — это расстояние между этими двумя точками. Используем формулу расстояния между двумя точками: \( S = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \).
\( S = \sqrt{(2 — (-1))^2 + (6 — (-3))^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + (6 + 3)^2} = \sqrt{3^2 + 9^2}=\)

\( = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} \).
Упрощаем \(\sqrt{90}\): \( S = \sqrt{9 \cdot 10} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{10} = 3\sqrt{10} \).
\( 3\sqrt{10} \)

Даны уравнения окружности \( (x + 1)^2 + (y — 2)^2 = 25 \) и прямой \( y = 3x \). Для определения длины хорды, образованной пересечением прямой с окружностью, необходимо сначала найти координаты точек пересечения.

Для этого подставим выражение для \( y \) из уравнения прямой в уравнение окружности. Заменяем \( y \) на \( 3x \) в уравнении окружности: \( (x + 1)^2 + (3x — 2)^2 = 25 \).

Далее, раскроем скобки в полученном уравнении. Квадрат суммы \( (x + 1)^2 \) равен \( x^2 + 2x + 1 \). Квадрат разности \( (3x — 2)^2 \) равен \( (3x)^2 — 2 \cdot 3x \cdot 2 + (-2)^2 \), что упрощается до \( 9x^2 — 12x + 4 \).

Подставляем эти развернутые выражения обратно в уравнение: \( (x^2 + 2x + 1) + (9x^2 — 12x + 4) = 25 \).

Теперь сгруппируем подобные члены. Складываем члены с \( x^2 \): \( x^2 + 9x^2 = 10x^2 \). Складываем члены с \( x \): \( 2x — 12x = -10x \). Складываем постоянные члены: \( 1 + 4 = 5 \). В результате получаем: \( 10x^2 — 10x + 5 = 25 \).

Чтобы решить это квадратное уравнение, перенесем все члены в левую часть, чтобы правая часть была равна нулю: \( 10x^2 — 10x + 5 — 25 = 0 \). Это дает: \( 10x^2 — 10x — 20 = 0 \).

Упростим это квадратное уравнение, разделив все его члены на 10. Получаем: \( \frac{10x^2}{10} — \frac{10x}{10} — \frac{20}{10} = \frac{0}{10} \), что приводит к \( x^2 — x — 2 = 0 \).

Решим это квадратное уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a} \). В данном уравнении \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \). Сначала вычислим дискриминант \( D = b^2 — 4ac \): \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 — (-8) = 1 + 8 = 9 \).

Теперь найдем значения \( x \):
Первый корень \( x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).
Второй корень \( x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

После нахождения значений \( x \), определим соответствующие значения \( y \), используя уравнение прямой \( y = 3x \).
Для \( x_1 = -1 \): \( y_1 = 3 \cdot (-1) = -3 \). Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты \( (-1, -3) \).
Для \( x_2 = 2 \): \( y_2 = 3 \cdot 2 = 6 \). Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты \( (2, 6) \).

Длина хорды представляет собой расстояние между этими двумя точками пересечения: \( (-1, -3) \) и \( (2, 6) \). Используем формулу расстояния между двумя точками \( S = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \).
Подставим координаты точек: \( S = \sqrt{(2 — (-1))^2 + (6 — (-3))^2} \).
Упрощаем выражения в скобках: \( S = \sqrt{(2 + 1)^2 + (6 + 3)^2} = \sqrt{3^2 + 9^2} \).
Вычисляем квадраты: \( S = \sqrt{9 + 81} \).
Складываем значения под корнем: \( S = \sqrt{90} \).

Наконец, упростим квадратный корень из 90. Мы можем представить 90 как произведение \( 9 \cdot 10 \). Поскольку 9 является полным квадратом, мы можем вынести его из-под корня: \( S = \sqrt{9 \cdot 10} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{10} = 3\sqrt{10} \).

Таким образом, длина хорды составляет \( 3\sqrt{10} \).